1415 
Het beeld van y 2,i- M is dus een kromme van den graad (2n + 4i 
drie (: n-\-2)voudige punten A; deze kromme zal door het symbool 
c 2n + 4 (3^4"+ 2 ) worden aangewezen. 
De beelden van twee vlakke doorsneden hebben de (2n-j-l) punten 
P' gemeen, die de beelden zijn van de punten P gelegen op de 
snijlijn der beide vlakken. Behalve de 3(w-(-2)" in de hoofdpunten A 
gelegen snijpunten hebben zij dus nog m = {n 2 - j-2n-f-3) punten G 
gemeen; deze zijn blijkbaar de doorgangen van even zoovele op 
gelegen biseeanten g van « 3 . 
Op het oppervlak liggen dus minstens (?z 2 — (— 2?z— )— 3) rechten. 
In het bijzonder volgt hieruit, dat elke op een kubisch oppervlak 
gelegen kubische ruimtekromme zes rechten van <I> 3 tot biseeanten 
heeft,. 
De complex van vlakke doorsneden van <ï> 2n + 1 wordt bijgevolg 
afgebeeld door een complex ( oo 3 ) van krommen c 2 ”+ 4 , welke drie 
(w-|-2)-voudige en (/z 2 — J— 2?z— {— 3 ) enkelvoudige basispunten heeft. 
3. De kromme a 3 wordt afgebeeld door het regelvlak 21 der 
biseeanten t, die ^> 2n +t in een van haar beide steunpunten aanraken. 
De rechten g zijn dubbele beschrijvende lijnen van 51 ; immers zij 
kunnen geacht worden in twee punten van a 3 te raken. 
Zij nu x de graad van 51, y de multipliciteit van a 3 op dat regel- 
vlak. De doorgang op r is dan een kromme a x (3Ay,mG 2 ). Daar « 3 
met een vlakke doorsnede y 2 ’^ 1 blijkbaar 3 n punten gemeen heeft, 
levert de beschouwing van hun beelden de betrekking 
(2h+4)® = 3(n+2)y -j- 2(?z s +2n+3) + 3 n. 
Daar twee biseeanten van a 3 elkaar slechts op die kromme kunnen 
snijden, heeft 21 met een willekeurige bisecante 2 y punten gemeen ; 
dus is x — 2 y. 
Men vindt nu y = 2?z— |— 3 , x = 4 w-f-6. 
Het beeld der kromme a 3 is dus een kromme a 4n + G (3^4 2ri + 3 , mG 2 ). 
4, Elk der n vlakken, welke in een punt R van a 3 aan- 
raken, bevat een beschrijvende lijn t van het regelvlak 51, die a 3 
nog in een punt S snijdt. De overige (w-j-3) in R samenkomende 
rechten t raken in een ander punt van a 3 . De puntenparen 
R,iS behooren tot een verwantschap met kenmerkende getallen 
?i-j-3 en n. De punten S, die bij eenzelfde punt R behooren, vor- 
men paren van een involutorische verwantschap met kenmerkend 
getal (w-)-3)(w — 1); de coïncidenties zijn afkomstig van punten R, 
waar twee der raakvlakken samenvallen. Op a 3 liggen dus 2(?t-{-3) 
(n — 1) cuspidaalpunten. 
Voor n = 2 vindt men het uitvoerig door R. Sturm behandelde oppervlak ^ 5 
met dubbelkromme ( Geom . Verw. IV, 311). 
92 * 
