1424 
Wiskunde. De Heer Brouwer biedt een mededeeling aan : „Over 
lineaire inwendige grensverzameling en.” 
We beschouwen een inwendige grensverzameling I, die binnen 
het eenheidsinterval is bepaald als doorsnede van de interval ver- 
zamelingen i lt i a ,..., waarvan elke volgende inde voorgaande bevat 
is. De complementairverzameling C van 7 is dan de vereeniging van 
de afgesloten puntverzamelingen a x , a 2 , . . ., waarvan elke volgende 
de voorgaande bevat. We onderstellen, dat zoowel 1 als C in ieder 
deelinterval van het eenheidsinterval niet-aftelbaar is-, we mogen dan 
aannemen, dat elke a v als laatste afgeleide een perfekte deelver- 
zameling p.j bezit, stellen het verschil van a v en p v voor door v v , 
de complementairverzameling van p v door u v en de als doorsnede 
van u 1} u 2 , . . . bepaalde inwendige grensverzameling door U. De 
verzameling der intervallen van een willekekeurige u v ligt dan overal 
dicht, bezit het ordinaalgetal p, en de maximumgrootte harer inter- 
vallen convergeert voor onbepaald toenemende v tot nul. 
Gesteld nu, dat we beschikken over een verzameling j v met het 
ordinaalgetal r\ van intervallen behoorende tot Uv, u v + 1, 2, • • •, die 
geen enkel punt van v.„ doch alle niet tot v v behoorende punten van 
Ü bevat. We zullen een methode aangeven, om van j v te komen 
tot een verzameling van intervallen behoorende tot m v + 1, u v - 1_2, 
w.,- (_3, . . ., die geen enkel punt van v^, doch alle niet tot typi be- 
hoorende punten van U bevat, die verder geheel binnen j v gelegen 
is, en wel zoodanig, dat elk interval van j v een intervalverzameling 
met het ordinaalgetal ^ van j v + 1 bevat. 
Zij AB een willekeurig interval van j v , dat bovendien behoort tot 
U/j{p>v), zij F de binnen AB liggende intervalverzameling van 'n^u 
en w de intervalverzameling, die overblijft, als aan f alle er in 
bevatte punten van worden onttrokken. Zij PQ een willekeurig 
interval van w, s F de als doorsnede van u p en het interval PQ be- 
paalde intervalverzameling, t p de intervalverzameling, die overblijft, 
als aan s p haar eerste en haar laatste interval, voorzoover deze bestaan, 
worden onttrokken, y de als vereeniging van t 1} t^, . . . bepaalde 
intervalverzameling, en cp de intervalverzameling, die ontstaat, als 
binnen elk interval van 10 een intervalverzameling wordt bepaald 
op dezelfde wijze, als y binnen PQ is bepaald. De gezochte interval- 
verzameling j v . j_! wordt dan verkregen, door binnen elk interval van 
een intervalverzameling te bepalen op dezelfde wijze, als <p binnen 
AB is bepaald. 
Verstaan we bij definitie zoowel onder u 9 als onder j 0 het een- 
