1429 
Passen we nu deze uitkomst op het bovenstaande geval toe, dan 
vinden we dat, in alle punten x van een gebied («) niet groter 
dan («„) 
i 
Urn | § 2>) n \ m <« + — (87) 
aangezien a 1 het getal is dat, voor de reeks P 2 , met « 2 korrespon- 
deert, en het verschil tussen korresponderende sirkelstralen « en 
niet toeneemt, als a afneemt. En verder, evenals de ongelijkheid 
(86) uit (85) volgt, kan men uit de laatst gevondene afleiden 
lim |(§2 ,m -\-x)m\ rn < 2ö -f «J— « 2 
'm=co 
Om deze ongelijkheid was het ons te doen. Er volgt uit dat de 
reeks die uit (84') ontstaat door in (§ s — x) { het min- door het 
plusteken te vervangen (en voor de funksies §i jW en § 2; ,„ de boven- 
genoemde majorantfunksies te substitueren), konvergeert in ieder 
gebied («) waarvoor 
3« + «1 <C a i 5 « <C I 1 
en wel omdat §i, m (x) regulier is in («J ; een nadere toelichting 
moge hier achterwege blijven, aangezien deze zou neerkomen op 
herhaling van hetgeen al zo dikwels, bij de bespreking van de 
konvergentie van volledige reeksen, gezegd is. In zo’n gebied («) 
konvergeert dus ook absoluut het aggregaat dat ontstaat, door in 
iedere term van de reeks in (84') het simboliese binomium te ont- 
wikkelen. Dat aggregaat mag derhalve willekeurig gegroepeerd 
worden, zolang x in ’t gebied (| a 2 ) ligt. We doen dit zó dat 
elementen met eenzelfde indeks bij g 2 , of eenzelfde eksponent, als 
we deze nog niet door een indeks vervangen hebben, bijeenkomen, 
en kunnen dan de koëffisient die daarbij verkregen wordt op 
eenvoudige manier vinden. Vooreerst merken we op dat, als een 
getal voorstelt, het rechterlid van (84') de formele ontwikkeling is 
van de grootheid §i >m (§„) op de plaats § 2 =x. Nu is het een bekend, 
en eenvoudig te bewijzen feit uit de funksieteorie dat men de 
formele ontwikkeling van een funksie f{y) op de plaats y= 0, 
k! 
uit die op de plaats y~x, 
/&>=£ — ü — - 
o 
kan krijgen, door in de laatste reeks iedere faktor ( y — xf te ont- 
93 
Verslagen der Afdeeling Natuurk. Dl. XXV. A°. 1916/17. 
