1430 
wikkelen naar machten van y en in het zo ontstane aggregaat de 
termen met eenzelfde macht y k van y te verenigen : de köëffisient 
wordt dan de formele ontwikkeling van ffö (o): k! op de plaatse. 
We zeggen ekspres: „formele ontwikkeling”, omdat het kan ge- 
beuren dat er geen enkele waarde van y is waarvoor beide reeksen 
tegelijk konvergeren, doordat de konvergentiesirkels van ƒ (y) voor 
de punten y = 0 en y=x geheel buiten elkaar liggen. Of, zo er al 
wel zo’n waarde is, kan ’t toch zijn dat de formele machtreeks voor 
/(*)( 0) : k ! voor de plaats y=x divergeert, doordat de konvergentie- 
sirkel voor deze plaats het punt y — 0 niet bevat. De uitspraak is 
er niet te minder geldig om, aangezien de formele ontwikkelingen 
onafhankelik zijn van de biezondere aard van de funksies, en 
men weet dat er funksies zijn, n.1. de gehele transsendente, waar- 
voor de beide reeksen in ’t hele vlak konvergeren. 
Passen we nu de voorgaande overweging in ons geval toe, dan 
komen we tot het besluit dat de gezochte koëffisient van § 2 fc de 
formele machtreeksontwikkeling van (0): k ! op de plaats x is. 
Maar deze formele ontwikkeling is hier ook essentieel, zo x in 't 
gebied (i-a 2 ) ligt, want dat de reeks dan kon vergeert, ligt, als 
nevenrezultaat, in het boven verkregene, dat n.1. het aggregaat 
waarover wij hier spreken absoluut in (-i- or 2 ) kon vergeert, opgesloten. 
De bedoelde koëftisient is dus ook in waarde gelijk aan |a.m(0): k! 
zodat we kunnen schrijven 
k! 
• • ( 88 ) 
waarin het laatste lid de betekenis aangeeft van het simboliese 
tweede. Zoals gezegd, is de formule geldig in ieder gebied («) waar- 
van de straal niet groter is dan i« 3 - De reeks in het laatste lid 
konvergeert echter in het hele gebied (« 2 ), omdat de limiet in het 
linkerlid van (87) voor a — a 2 volgens diezelfde ongelijkheid, kleiner 
is dan a x , en (x) regulier is in het gesloten gebied (r^), met 
welke toelichting we weer kunnen volstaan. De konvergentie is ook 
uniform in (or 2 ), de termen zijn in dat gebied reguliere funksies van 
x, dus stelt ook de hele reeks een in (a s ) reguliere funksie voor. 
Deze moet identiek zijn met §u >m {x) omdat ook §n im {x) in (« 2 ) 
regulier is, en de beide funksies al in het gebied ({«,) overeen- 
stemmen. Tenslotte is de simboliese formule (88) dus geldig in het- 
zelfde gebied als zijn tegenhanger (73). 
De veralgemening van (88) ligt onmiddellik voor de hand. Blijk- 
baar is 
