1432 
beschouwingen opgesloten, volgens welke men analitiese herleidingen 
uitvoeren mag. De verkregen vorm moet nu in een machtreeks 
naar a 2 ontwikkeld worden, die blijkens de algemene teorie voor 
iedere m bestaan moet, als x in het gebied (« 2 ) ligt : dit komt ook 
uit, want de konvergentiesirkel van co is groter dan een volledig- 
heidsgebied («J van S a , en dus stellig groter dan (a a ). We kunnen 
de bedoelde machtreeks ook krijgen, door die voor m = 1, volgens 
de gewone regel voor de machtsverheffing van reeksen, tot de m 3 
macht te verheffen ; dit bedoelen we, wanneer we schrijven 
waarbij de term — x met de term voor i—0 onder het ^-teken 
samengenomen te denken is. 
Is de machtsverheffing verricht, dan moet aj door a^i vervangen 
worden. Het eigenaardige is nu dat men de volgorde van deze twee 
laatste bewerkingen mag omkeren, en dat zit daarin dat aj hier 
niet slechts een simboliese, maar ook een werkelike i e macht is 
(van een van i onafhankelik getal co — x). Daardoor is tans de 
remplacant van het produkt van twee simboliese machten gelijk aan 
het produkt van hun remplacanten, en dit heeft het geoorloofde van 
de bedoelde vervanging ten gevolge. Er komt 
(co — #)*«>( 0(ar) 
77 
De oneindige som binnen de haken (zonder de term — x) is nu 
een formele reeksontwikkeling van co [co(#)] en, als men het be- 
handelde in N°. 26 van de vorige mededeling raad pleegt, met name 
formule (60), dan blijkt dat die ontwikkeling de genoemde grootheid 
ook inderdaad in het gebied («J voorstelt. Men heeft dus ten slotte 
au ; , n = [co [co (#)] — x ] m , 
wat natuurlik veel gemakkeliker langs andere weg te vinden is 
(door op te merken dat S 0 >So> een nieuwe substitutieoperatie is met 
de substitutiefünksie co[co(#)J). 
Ten tweede beschouwen we het geval T x — S u , T t = D~ x . Hier 
is a 1 ,i hetzelfde als in ’t vorige geval, en 
02 ,i 
( — 1) J ‘ x^ 1 
i + 1 
- 1 ) Om deze reden komt ’t bv. ook uit, als men, bij de toepassing van formule 
(24), a m — X— °P de substitutieoperatie, vóór de ontwikkeling van het 
binomium, £ door « vervangt. 
