1 435 
Omdat blijkbaar a (cc) toeneemt met «, zien we onmiddellik het 
volgende in: 1° Als a (a) eindig is voor zekere waarde van « in 
het interval (0, R), dan is a (a) ook eindig voor alle kleinere 
waarden van dat interval; 2° Als a (cc) oneindig is voor zekere 
waarde van u in het interval (0, R), dan is a (cc) ook oneindig 
voor alle grotere waarden van dat interval. Er is dns een punt A 
in genoemd interval dat de scheiding vormt tussen de eindige 
waarden van a (cc), links van A, en de oneindige, rechts van A. 
Het punt A kan met cc = 0 of met a — R samenvallen ; in het 
eerste geval is er van de funksie a («) verder niets te zeggen ; de 
korresponderende transmutatie is in geen enkel nog zo klein gebied 
rondom de oorsprong volledig, zodat we van dit geval kunnen afzien. 
(Een voorbeeld levert a m (x) = m! x m , waarbij R = cc, maar A = 0 is)., 
We nemen dus het geval dat er een interval (0, A) is, deel uit- 
makend van het interval (0, R) of er mee samenvallend, waar binnen 
a (cc) een eindige waarde heeft, en zullen nu aantonen dat clis- 
Tcontinuiteit binnen dat interval uitgesloten is. 
We splitsen daartoe alle machtreeksen, voor de verschillende 
waarden van ra, in twee stukken, waarvan het eerste een met ra 
evenredig aantal km termen bevat; we schrijven dus 
a m (a) = ^ c m>n a n = P m (a ) -f- Q m (cc) , . (94) 
o 
waarin 
Tem — 1 oo 
Pm (cc) — C m>n CC n , Q m (cc) — ^ n Cm,n Ct n , 
0 hm 
en k een van m onafhankelik getal is waarover we nog nader zullen 
beschikken. Aan ieder van de delen P m en Q m beantwoordt, even- 
als aan het geheel, een bovenste limiet als in (93) aangegeven ; deze 
zullen we resp. met de namen eerste en tweede limiet aanduiden, 
terwijl we dan de limiet voor het geheel ook de totaalWmiei zullen 
noemen. We kunnen nu weer gebruik maken van de stelling die 
we in N°. 32 van de vorige mededeling uitgesproken hebben, en 
die ons al meer bij de beoordeling van dergelijke limieten te pas 
gekomen is. Volgens deze is de grootste van de limieten, berekend 
voor de beide delen P m en Q m afzonderlik, gelijk aan de totaal- 
limiet, en, bij gelijkheid van de beide eerstgenoemde, is de totaal- 
liiniet of óók gelijk daaraan, öf kleiner; het laatste is hier echter 
uitgesloten, omdat geen van de reekstermen negatief is. 
Wanneer nu de totaallimiet a («) in alle inwendige punten van 
het interval (0, A) gelijk aan nul is, dan is a(a) meteen kontinu in 
