1436 
die punten en is dus verder niets te bewijzen. Blijft over bet geval 
dat er een punt a l in {o, A ) te vinden is waarvoor die limiet gelijk 
is aan een zeker pozitief getal A x . Wij beweren dan: Er is in a—a x 
een waarde k l voor het gehele getal k aan te geven, zodanig, dat 
de eerste limiet niet kleiner is dan de tweede, en dus gelijk aan de 
totaallimiet A x . Immers, stel dat in « x de tweede limiet voor een 
willekeurige waarde van k de overhand had, en dus gelijk was aan 
A x . Dan zou die limiet in een rechts van « x gelegen punt a van het 
f a \ h 
interval (0, A) minstens I — j-maal zo groot zijn als het pozitieve 
getal Aj en dus, daar k willekeurig groot te denken was, niet anders 
dan oneindig groot kunnen zijn, in strijd met ons uitgangspunt. Er 
is dus inderdaad een waarde k — k x als bedoeld. 
Voor een links van « x gelegen punt « van het interval heeft nu 
de tweede limiet, bij dezelfde waarde k l van k, evenmin de overhand, 
en is dus de eerste limiet weer gelijk aan de totaallimiet. Immers, 
/«V i 
de tweede limiet is daar minstens, en de eerste hoogstens I — 1-rnaal 
zo klein. Uit dit laatste volgt meteen dat de eerste limiet, en dus 
ook de totaallimiet, in geen enkel zodanig punt a gelijk aan nul 
kan zijn. Verder is voor twee willekeurige punten « en u' binnen het 
interval (0, a x ) de verhouding van de waarden die de eerste limiet 
fa'\h 
daar aanneemt gelegen tussen ( — 1 en 1 , en nadert dus tot 1 als 
u nadert tot u ; m.a.w. de eerste limiet, en dus evenzeer de totaal- 
limiet, is een kontinue funksie van a in het interval (0, a j). 
Uit de onderstelling dat a (a x ) eindig is en niet nul hebben we 
dus afgeleid dat a («) binnen het interval (0, cc x ) kontinu is en ook 
niet gelijk nul. Maar als a (« x ) van nul verschilt geldt dit van iedere 
waarde van a (a) voor a 1 <fa A. Dus komen we tot het besluit 
dat a («) kontinu en van nul verschillend is binnen een willekeurig 
onderinterval van (0, A) dat hiermee het linkereindpunt gemeen 
heeft; en dus kort en goed binnen (0,^4). We hebben dus tenslotte 
dit rezultaat: De limietwaarden (93) zijn in de inwendige punten 
van het interval (0, A) óf alle gelijk aan nul, of alle verschillend 
van nul, maar ook in dit laatste geval vormen ze een binnen dat 
interval kontinue funksie van «. De stelling die we wilden bewijzen 
is hiermede aangetoond. 
Omtrent de eindpunten van het interval (0, A) valt uit het voor- 
gaande niets op te maken. Ten opzichte van deze punten kunnen 
we de volgende gevallen onderscheiden, die ook alle, blijkens de 
toegevoegde voorbeelden, mogelik zijn. 
