1438 
dan is a («) in het hele gesloten interval (0,1) gelijk aan nul, 
behalve in u = 1, waar a («) = oo is. 
4°. De funksie a («) is in beide eindpunten van het interval 
(0, A) diskontinu, en wel 
a. a («) is eindig in cc = A ; b. a(a) is oneindig in a — A. 
Voorbeelden 4 a: a m (x) — c m -|- xy m -f- «"**, als c een ’pozitieve 
konstante is kleiner dan 1 , y= /(«) een majorantfunksie als voren, 
met de nevenvoorwaarden ƒ (0) ]> c en ƒ (1) 1. We hebben dan 
a (0) == c, a (1) = 1 en binnen het interval (0,1) a («)=ƒ(«), zodat 
er, als ƒ (0) = c + Jh ƒ (1) = 1 — g, waarin p en q pozitieve ge- 
tallen zijn die voldoen aan de voorwaarde c p <^1 — q, in « = 0 
een sprong van a ( a ) is gelijk aan p, en in a = 1 een sprong 
gelijk aan q. 
Voorbeelden 4 b : a m (x) = &■ + x y m + ■ <*™ 2 , waarin y = ƒ («) 
een funksie is als in ’t voorgaande voorbeeld, zonder dat echter 
het voorbehoud voor ƒ( 1) behoeft te worden gemaakt. 
In al deze gevallen hebben we A wezenlik verschillend van R 
gedacht, maar de toestand verandert niet noemenswaard als we 
A == R denken. We kunnen voorbeelden daarvan vinden door in 
alle voorgaande de konvergentiestraal van y gelijk aan 1 te denken, 
waarbij we dan nog majorant fnnksies ƒ (x) kunnen kiezen waar- 
voor ƒ (1) oneindig is, of zulke waarvoor ƒ( 1) eindig blijft. 
Om nu tot de funksionele operaties terug te keren, merken we 
op dat, blijkens de stelling van N°. 4, zo’n operatie slechts volledig 
is in gebieden («) waarvoor u A, of misschien hoogstens cc = A. 
Wij hebben dus alleen te maken met zulke gebieden en daarvoor 
is nu a («) een kontinue funksie van a gebleken, behoudens mis- 
schien in « = 0 en cc = A. Het geval dat we, ter vereenvoudiging 
van onze uitspraken omtrent de rezultante van twee volledige trans- 
mutaties, gesteld hadden, blijkt dus het enig mogelike te zijn. Wat 
bovendien eventuele diskontinuiteit in « = 0 betreft, deze is voor 
de volledige transmutatie van geen belang. Springt in «—0 de 
funksie a («) van de waarde & 0 op de waarde b (de rechterlimiet 
van a(a) in « — 0), dan levert de reeks P wel ook voor alle funk- 
sies die tot de sirkel (Z> 0 ) en niet tot de sirkel (è) behoren een ge- 
transmuteerde in x = 0, maar die reeks levert niet voor alle funksies 
die tot een sirkel (b 1 ), groter dan ( b 0 ) en kleiner dan (b), behoren 
een getransmuteerde in een nog zo kleine omgeving van x — 0. 
We zullen daarom als met u — 0 korresponderend gebied (|?) aan- 
nemen de sirkel waarvan de straal gelijk is aan b en daarmee is 
de diskontinuiteit van a («) in a ■=. 0 opgeheven, 
