1440 
van kracht was. Maar tans willen we opmerken dat voor dit laatste 
de volgende uniformiteitsonderstelling, ruimer dan die in N°. 4, 
voldoende is : 
A. Bij ieder willekeurig klein voorgeschreven getal e is er een 
geheel getal JV S) zodanig dat tegelijk voor alle punten x van het 
gesloten gebied («) 
I a m (#) I («(«) + f ) m v00r m — N e . . . . (98) 
We zullen niet nader uiteenzetten dat deze onderstelling vol- 
doende is, om tot de gelijkheid (97) te kunnen besluiten ; het is 
gemakkelik in te zien. Uit deze echter en de onafhankelik van 
iedere onderstelling geldende gelijkheid f96) volgt (95), zodat de 
funksie a(u) enkel onder de voorwaarde gemerkt A gelijk is aan 
a (cc) en dus kontinu binnen het interval (0, A). 
Hiermee is nu echter nog niet verkregen dat ook /? = /?. Zal dit 
waar zijn, dan moet men hebben 
a (cc) >A (a) , 
en uit de kombinatie van deze laatste twee betrekkingen volgde a(cc)=A(cc), 
indien a («.) een kontinue funksie van x was, wat we toen aangenomen hebben. 
Intussen, nu deze kontinuiteit een noodzakelikheid gebleken is, rijst de gedachte 
dat de laatste gelijkheid rechtstreeks, zonder er de kontinuiteit van a («) bij te halen, 
zal kunnen worden bewezen. Inderdaad kan dit als volgt : Denken we voor de grootheid 
am («) weer de splitsing (94) uitgevoerd, en daarbij, voor een zekere waarde van u, 
het gehele getal k zo gekozen dat men weer heeft (we schrijven nu P in plaats 
van P) 
a (ex) — lim [P m («)] m 
Nu heeft men, voor willekeurige waarde van n, A m (a) > c m ,n als c m ,n de 
modulus van de koefficient c m , ?i in de machtreeksontwikkeling van a'm (x) is. Zij 
c m ,p ciP de of een van de maksimumtermen in Pm (cc ) ; het getal p zal in ’t alge- 
meen met m variëren, maar hoe dit zij, steeds is c m> » aP> — Pm Cu), en dus 
km 
heeft men ook 
Am(ccY^> 
Pm(a) 
km 
Hieruit volgt, daar lim mm = 1, 
771=00 
1 1 
A (a) = lim [^l m («)] m > lim [P,„ («)] m = a («) , 
771= GO 771=00 
en daar A {cc) niet groter kan zijn dan a (a), moet men hebben A (a) = a («), 
