1487 
Kiest men een ander beeld, d. w. z. een anderen vorm voor 
de „elementaire” functie f{x v ), dan krijgt men dezelfde formule 
(Ia), echter hangt dan D op andere wijze met de keuze van f (x v ) 
samen 1 ). Alleen wanneer de „elementaire” functie de gezochte 
f{x v, U) is, zal D een onbepaalde constante zijn, die door den aard 
der Brown’sche beweging bepaald wordt. 
§ 2. In het voorafgaande is steeds ondersteld, dat de Brown’sche 
beweging niet door een uitwendige kracht beïnvloed wordt. Een 
gevolg hiervan was. dat we om redenen van symmetrie mochten 
aannemen dat ƒ (x, t ) even was in x. Werkt echter een kracht op 
de deeltjes, dan zal de kans op een bepaalde verplaatsing geen even 
functie van die verplaatsing meer zijn. Ook zal deze kans niet 
alleen van de verplaatsing afhangen, maar ook van het uitgangspunt. 
We zullen eerst uitsluitend verplaatsingen in de A-richting be- 
schouwen. Noem de abcis van het deeltje op den tijd t= 0 x, dan 
kunnen we de kans, dat deze op den tijd t tusschen p en p dp 
ligt, voorstellen door f(x,p,t) dp. Gemakkelijk ziet men in, dat 
ook deze functie ƒ aan een integraalvergelijking voldoet, n.1.: 
j'f(x,p,t 1 )f(p,a,t 3 )dp=f(x,a,t l -\-t i ) 2 ) . . . . (F) 
Uit deze integraalvergelijking heeft v. Smoluchowski 3 ) voor het 
geval van een quasi-elastische kracht door herhaalde integratie ƒ 
bepaald, doch hij merkt daarbij op, dat deze weg slechts bruikbaar 
is bij een eenvoudige onderstelling omtrent de kracht en dat het 
in het algemeen Verkieselijk is ƒ te bepalen uit een gegeneraliseerde 
diffusie-vergelijking. Deze vergelijking leidt v. S. af op een meer 
phenomenologische wijze zonder daarbij van (V) gebruik te maken. 
We zullen nu laten zien hoe deze vergelijking uit (V) is af te 
leiden, wanneer we gebruik maken van enkele onderstellingen, die 
ook v. S. bezigt bij het bepalen van ƒ door herhaalde integratie. 
>) Onderstellen we bijv. dat telkens na een tijd r een verplaatsing 2 kan plaats 
| 
hebben, óf naar rechts, óf naar links ieder met een kans — — — , zoodat de kans 
om te blijven liggen k is. Hierdoor is de vorm van f ( x v ) bepaald en vindt men 
voor D : 
2 ) Zie ook M. Smoluchowski Ann. d. Phys 48 p. 1103, 1915. 
s ) Ann. d. Phys. 48 p. 1104, 1915. 
