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Im Anschluss an seine in der vorhergehenden Sitzung (am 10. Mai 1900) gegebene 
Mittheilung über die Lösung der Kreisberührungsaufgaben durch Kreisverwandtschaft 
entwickelt der Vortragende die Auflösung der Kugelberührungsaufgaben durch die 
Kugelverwandtschaft, das räumliche Seitenstück der Kreisverwandtschaft. Die 15 Auf- 
gaben werden auf 2 Stufen vertheilt; der Unterstufe, die hier ausser Betracht blieb, 
werden die 5 Aufgaben zugewiesen, bei denen nur Punkte und Ebenen gegeben sind, 
sowie noch die Aufgabe „3 Ebenen und 1 Kugel“, da sie durch einen die 3 Ebenen 
berührenden Umdrehungskegel auf die ebene Aufgabe „2 Gerade und 1 Kreis“ zurück- 
geführt wird. Die Aufgaben, bei denen neben Ebenen und Kugeln noch mindestens 
1 Punkt gegeben ist, werden gelöst, indem man eine Kugelverwandtschaft benutzt, 
deren V erwandtschaftsmitte der gegebene Punkt (bez. einer der gegebenen Punkte) ist, 
denn die gesuchte Kugel wird alsdann als Ebene abgebildet. Hiernach sind noch die 
Aufgaben zu erledigen, bei denen 2 Ebenen und 2 Kugeln, oder 1 Ebene und 3 Kugeln, 
oder 4 Kugeln gegeben sind. Aus dem Gesammtgebiete dieser Aufgaben kann man 
zwei Gebietstheile ausscheiden, die zum Ganzen ein endliches Verhältniss haben. Wenn 
nämlich 3 von den gegebenen Flächen x 1; x 2 , einen gemeinsamen (realen) Punkt 0 
haben, so werden sie von 0 als Verwandtschaftsmitte aus als Ebenen */, z 2 ', * 3 ' abge- 
bildet, und hierdurch wird die Aufgabe auf „3 Ebenen und 1 Kugel“ zurückgeführt. 
Wenn ferner unter den 4 gegebenen Flächen 2, und *. 2 , sind, die sich nicht schneiden, 
so kann man sie in 2 mittengleiche Kugeln verwandeln, indem man einen der beiden 
Kulipunkte des Büschels x. 2 als Verwandtschaftsmitte benutzt; man hat dann die 
Kugel af- zu zeichnen, welche 2 mittengleiche Kugeln und x 2 und noch 2 andere 
Kugeln x 3 ' und x[ berührt. — Für das Bestgebiet führen folgende Betrachtungen zum 
Ziele. Eine Kugel, die den Ebenen a t « 2 eingeschrieben ist, wird von einer der beiden 
Mittelebenen von a t « 2 rechtwinklig geschnitten ; durch Kugelverwandtschaft folgt hieraus 
sofort, dass eine Kugel x, welche die Kugeln x 1 x 2 berührt, von einer der beiden Kugeln 
x ia und x 12 ' rechtwinklig geschnitten wird, die dem Büschel x ± x 2 angehören und die 
Kugeln x y x 2 unter gleichen Winkeln schneiden. Haben die Kugeln die Normal- 
gleichungen j'gib 0, * 2 = 0 und die Halbmesser r ± und r 2 , so ist 
Zu den 4 Kugeln x 1} x 3 , x s , gehören 6 Paare winkelhalbirende Kugeln 
und diese bilden 8 Bündel zu je 6 Kugeln, nämlich 
1) 
12, 
23, 
13, 
14, 
24, 
34 
1 5) 
23, 
34, 
24, 
12', 
13', 
14' 
2) 
12, 
23, 
13, 
14', 
24', 
34' | 
6) 
12, 
34, 
13', 
24', 
23', 
14' 
3) 
12, 
24, 
14, 
13', 
23', 
34' 
7) 
13, 
24, 
12', 
34', 
23', 
14' 
4) 
13, 
34, 
14, 
12', 
23', 
24' 
8) 
14, 
23, 
12', 
24', 
34', 
13' 
Man hat nun die 8 Kugeln zu zeichnen, welche je eins dieser 8 Bündel recht- 
winklig schneiden und eine der 4 gegebenen Kugeln berühren; von jedem der 8 Bündel 
hat man dabei natürlich 3 Kugeln A, y, v zu verwenden, welche nicht ein Büschel 
bilden. Haben A, y : v einen realen Punkt gemein, so nimmt man diesen als Verwandt- 
schaftsmitte; x' hat dann den Schnittpunkt der Ebenen P, y\ v' zum Mittelpunkte. 
Wenn unter den 3 Kugeln A, y, v zwei sind, die sich nicht schneiden, z. B. A und y, so 
bilde man sie als mittengleiche Kugeln A' y' ab; x f ist dann eine Ebene, welche die 
gemeinsame Mitte von A' und y\ sowie die Mitte von v’ enthält. Wenn keine dieser Voraus- 
setzungen zutrifft, so beachte man, dass die Kugeln, welche A, ,u, v rechtwinklig schneiden, 
ein Büschel bilden, dessen (realer) Grundkreis die auf der Mittelebene von A, y, v ent- 
haltenen Hauptkreise dieser Kugeln rechtwinklig schneidet. Nimmt man einen Punkt 
dieses Grundkreises als Verwandtschaftsmitte, so bildet sich x als Ebene af ab, die 
eine gegebene Gerade enthält. 
An jeden der beiden Vorträge schliesst sich eine kurze Disc-ussion. 
HerrR.M.Pe stellegt ein Sphärometer für dioptris che Zwecke vor. 
