116 
Wiskunde. De Heer Jan de Vkies biedt een mededeeïing aan 
van den Heer Chs. H. van Os over: „Toegevoegde punten bij 
een complex van quadratische oppervlakken.” 
(Mede aangeboden door den heer W. Kapteyn.) 
Zij gegeven een drievoudig oneindig lineair steisel {complex) van 
quadratische oppervlakken <I> 2 . De oppervlakken, die door een punt 
P gaan, vormen een net en hebben nog zeven andere punten Q 
gemeen. Voegen wij deze aan P toe, dan krijgen wij een verwant 
schap, die hier beschouwd zal worden. 
§ 1. Wij bewijzen eerst de stelling: Iedere rechte /, die twee 
toegevoegde punten P en Q verbindt, bevat een involutie van paren 
toegevoegde punten. Elke bundel van den complex toch heeft met 
het door P en Q bepaalde net één <I > 2 gemeen, en snijdt / dus vol- 
gens een involutie, die het puntenpaar P,Q bevat. Hebben twee 
bundels één <I> 2 gemeen {„snijden” zij elkaar, zooals wij kortheids- 
halve zullen zeggen), dan hebben de bijbehoorende involuties nog 
één puntenpaar gemeen, en vallen dus samen. Snijden de twee bun- 
dels elkaar niet, dan kan men een derden aanbrengen, die elk van 
hen snijdt, en ziet dus, dat de involuties ook dan samenvallen. Alle 
bundels snijden dus l volgens dezelfde involutie, elk puntenpaar 
daarvan bepaalt dus oneindig veel bundels, zondert dus een net uit 
den complex af, waarmee het gestelde bewezen is. 
§ 2. Bepalen wij de meetkundige plaats der punten P, die met 
ecu hunner toegevoegde punten samenvallen. Hiertoe bepalen wij het 
aantal dier punten gelegen op de doorsnede q 4 van twee *7> 2 van 
den complex. De achttallen toegevoegde punten op p 4 worden op 
o 4 uitgesneden door de <T> 2 van een bundel (<Z> 2 ) uit den complex. 
Nu bevat een bundel ( f /> 2 ) zestien <I> 2 , die een biquadratische ruimte- 
kromme van de eerste soort raken; men ziet dit gemakkelijk in, dooi- 
de kromme in een scheeve vierzijde Ie laten ontaarden, waarvan dan 
elke der zijden aan twee <I> ! raakt, terwijl door elk hoekpunt één *1>* 
gaat, die dubbel geteld moet worden. 1 ) Het aantal der op (> 4 gelegen 
punten P bedraagt dus 16, hun meetkundige plaats is dus een oppervlak 
van den vierden graad, A 4 . 
§ 3. Wat is de meetkundige plaats der punten Q, als P een 
rechte / doorloopt ? 
] ) Zie hv. Ze uturn, Lehrhuch der abzdhlenden Methoden der Geometrie, 
Teubarr 1914. 
