561 
vergent, daar in het tweede lid van (11) : (x - §) 2 /_(i . /JL )(iz\/x~ S,) 
is van de orde en u voldoet aan R(a) 0. 
(x— 
Als voorwaarde bij het ontstaan van (1) uit (5) treedt op, dat (8) 
uniform convergent moet zijn voor a^x^b, wat tengevolge heeft: 
f(x) continu, daar R{k) <( 1. 
We kunnen dus het volgende vaststellen : 
ƒ» 
is een analytische functie, regulier voor a^x^ b, 
de x e orde heeft [zoodat ontwikkeling 
1. Indien - 
(x — a ) 1 
die x — a tot nulpunt van ae s K 
(7) geldt], en indien de reeks, die we krachtens onze definitie voor 
fU+i—X) (x) kunnen opstellen [zie (10)], uniform convergeert voor 
a^x^b, — dan zal (11) een continue oplossing zijn van (1), mits 
RU) <1 en 0 < ff (ji) < * + 1 . 
3. Voor z = 0 gaat (1) over in de integraalvergelijking van Abel: 
«GO 
dê, 
( 12 ) 
waarvoor we nu de oplossing in algemeenen vorm vinden door in 
(11) ook te substitueeren z = 0, nl. 
sinin PU ) 1- ^(5) 
u(x) = I ai 
rr r(fx) ) («-§)l -f'- 
(13) 
geldig onder dezelfde voorwaarden als genoemd onder I ($ 2). Abel 
loste (12) op in de onderstelling 0 <( ff (A) <( 1 en vond als oplossing 
(13), waarin p = l. 
Lioüville 1 ) breidde Abel’s probleem uit tot de onderstelling 
- • - n O R (A) O — n -\- 1 (n positief geheel of nul) en vond als op- 
lossing (13), waarin p = n -J- A. 
4. Gaan we thans (1) opvatten als een bijzonder geval van de 
integraalvergelijking van Volterra van de eerste soort, die de alge- 
meene gedaante heeft : 
X 
ƒ (*) = I K{x , §) u (I) dl (14) 
a 
dan blijkt (1) hieruit te volgen, wanneer we voor de kern nemen 
K{x&) = r(l — /) (.v — §) 2 T-x (zV x — §). . . (15) 
!) Journ. de 1’Ec. Polytechn., Gah. 21 (1832). 
