562 
Aangaande (14) gelden de volgende theorema’s 1 ). 
dK(x,B) ^ ^ d’üT(.r,£) 
A. Indien K 0 (x,S) = X(x,§), K^g) M — ~,...K n (x,§)= K 
Öx O x 11 
ö ,! + ' K{x,B) .... 
continu zijn en ÜT„ + !(«;,§) = ^ r „ + i eindig is voor aSg^x^b 
en de discontinuiteiten van ir „_|- 1 (.r,£) zijn, zoo zij die heeft, in dit 
gebied regelmatig verdeeld 2 ), en indien bovendien K 0 (x,x) = 0, 
K x (x,x) = 0, . . . K n - 1 (x,x) = 0, maar K n (x,x) =|= 0 voor a^x^Lb, dan 
zal (14) slechts één continue oplossing hebben onder de noodige en 
voldoende voorwaarden : f(x), f\x ), . . . f(*+ '> (x) continu voor a^x^b 
en ƒ(<■?.) =ƒ'(«):= . .' =f("\a) = 0. Ën wel zal deze oplossing worden 
voorgesteld door de eenigst mogelijke continue oplossing van de 
integraalvergelijking van de tweede soort: 
X 
ƒ("+'> («) = K n (x x u (x) 4 -J' K n + 1 (a-, 5 ) u (I) dB, . . (16) 
dJf(B,$) _ dn-‘JT(,v,£) 
B. Indien £’ 0 (x,§) = K(x r §), K x («,?,) = — ,—K n —\ (.*,§)= — — 
b»K(x,t) G(x,B) 
continu zijn voor a^g^x^b en K„(x.g )= — = (0 <#(/.„)< 1), 
dA ’" ( x s) ” 
waarin G[x,g) en — ook continu zijn voor a ^x^b, en indien 
dx 
bovendien R 0 (x,x) : 0, K x (x,x) = 0, . . . K n —\(x,x) = 0, maar G(x,x) =|= 0 
voor a f^x ^b, — dan zal (14) slechts één continue oplossing hebben 
onder de noodige en voldoende voorwaarden : f(x), f(x) . . . ƒ(")(#) en 
— f f ( } — dB, continu voor a ^x < b, en f(a)=f(a)=...=f( n \a)=0. 
dxJ {x _^f-G 
a 
En wel zal deze oplossing worden voorgesteld door de eenigst 
mogelijke continue oplossing van de integraalvergelijking van de 
eerste soort : 
X 
F{x) =Jz(a,£) u(B) dB, (17) 
1 ) Zie o.a. M. Böcher : An introduction to the study of integral equations (1904) 
§§ 13, 14. 
2 ) D. w. z. dat de discontinuiteiten op een eindig aantal krommen met continu 
veranderlijke raaklijnen in het beschouwde gebied van het ï£-vlak liggen, die door 
lijnen // x- of £as steeds in een eindig aantal punten worden gesneden. 
