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mit irgend einem Gliede einer bekannten n- Teilungsgruppe durch eine 
Gerade verbindet, den dritten Schnittpunkt dieser Geraden mit der C 3 er- 
mittelt, und von diesem Punkte aus durch Gerade die bekannte Gruppe 
auf die C 3 abbildet. 
Die sämtlichen Drittelungsgruppen können auf diesem Wege aus dem 
Verein der Wendepunkte abgeleitet werden, der eine besondere Drittelungs- 
gruppe, nämlich die zu 0 gehörige, bildet. Auf diese Weise finden sie sich 
z. B. bei Dur ege (Die Kurven 3. Ordnung, Teubner 1871) eingeführt. 
Diesen Abbildungsätzen stehen verwandte zur Seite, in denen zur 
Abbildung andre Linien, z. B. Kegelschnitte, verwendet werden. Es mag 
genügen, deren einige anzugeben. 
Die Kegelschnitte, die drei gegebene Punkte einer C 3 und aufserdem 
noch von zwei w-Teilungsgruppen je einen Punkt enthalten, treffen die C 3 
zum sechsten Male in einem Gliede einer bestimmten dritten n- Teilungs- 
gruppe. Die Kegelschnitte, die zwei gegebene Punkte der C 3 und von 
einer n- Teilungsgruppe zwei Punkte, von einer andern einen enthalten, 
schneiden aus der C 3 ebenfalls die Glieder einer bestimmten %-Teilungs- 
gruppe aus. Das Gleiche gilt für die Kegelschnitte, die a Punkte der einen 
und 5 — a der andern Gruppe enthalten, wobei unter den a und 5 — a 
zusammenfallende sein können. 
Besondere Beachtung verdienen die 3 n -Teilungsgruppen, zu denen die 
Wendepunkte gehören, und die man 3 %-Teilungs-Nullgruppen nennen kann. 
Für sie gelten die Sätze: Jede Gerade, die zwei, — jeder Kegelschnitt, der 
fünf, — jede Kurve dritter Ordnung, die acht Punkte einer Nullgruppe 
enthält, schneidet die C 3 in noch einem Punkte der Gruppe. 
Geht man von einem Parameter a in einer arithmetischen Reihe vor- 
wärts, und verlangt, dafs man beim wten Schritte wieder zum Anfänge 
zurückkommt, so hat man, wenn x der Reihenunterschied ist, 
a + n x = a, 
n x= 0. 
Hiernach ist x ein Glied der n- Teilungsnullgruppe, und die Glieder 
der Reihe gehören einer bestimmten n- Teilungsgruppe an. Eine solche Reihe 
kann man als arithmetisches n-Eck bezeichnen. 
Die einfachste derartige Figur ist das arithmetische Zweieck; jeder 
Punkt a bildet mit den Punkten a + K, <x + i K\ a + K-\- i K f arith- 
metische Zweiecke, die unter der Bezeichnung konjugierte Punktpaare schon 
seit langer Zeit von den Geometern untersucht worden sind. 
Arithmetische Dreiecke gibt es vier verschiedene Arten, wenn 
man Dreiecke oder w-Ecke nicht unterscheidet, die blofs in der Anordnung 
der Ecken abweichen. Bezeichnet man den Wendepunkt 
2 K , 2 i K' 
m ■ ~r + w ' — 
mit (m, ri), so ist das Dreieck 
<x, a + (m, n), a + (2m, 2ri) 
nicht verschieden von 
a, a + (2m, 2 ri), a + (4m, 4w), 
(4m, 4 n) = (m, n). 
weil 
