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Es werde die auf der Ebene des Winkels Ai, stehende Höhe des Tetraeders A 1 A 2 
1 3 A 4 mit hi, derjenige Winkel bei Ai, auf dessen Symmetrieebene die Kugelmitte M liegt, 
mit 2 ai, die Tangente von Ai an die Kugel mit U, der an der Kante Ai Au liegende 
Raumwmkel des Tetraeders A 2 A 3 A 4 mit ßik, die Kante Ai An mit 2 lik, der Kugel- 
halbmesser mit p bezeichnet; ferner seien xyz die rechtwinkligen Koordinaten von M 
und die homogenen Koordinaten von M in bezug auf das Tetraeder A ± A 2 A s A 4 . 
— Dann erhält man 
1. aus der Plückerschen Formel 
^1 |2 I ^3 1 ^4 1 
h^h^h^ I h ~ 
und aus 
%i*=p* — tiHg*ai 
eine Gleichung für p, nämlich die Relation 
h V^ 2 ~ ^9 2 a i~\ b P 2 — V tc J 2 a -4 — 1 ’ 
2. aus dem Kreis Viereck, das die anstofsenden Seiten %i& und AI gegenüber den 
Winkel ßik hat, die Formel 
p 2 sm 2 ßijc =ti 2 tg 2 -ai-\-tk* tg 2 aj c — 2 Ufo tgoti tga k • cos 
3. aus der Cayleyschen Gleichung (Baltzer, Determinanten, § 16, 1 1) für die Strecken 
zwischen fünf Punkten die Relation 
0 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
0 
4^i 2 2 
4^1 3 2 
4V 
P 2 + ^l 2 
1 
4Z 12 2 
0 
4* 2 3 2 
4 Cr 
p 2 H-*2 2 
1 
4 ^13 2 
4?23 2 
0 
«34* 
P 2 + h 2 
1 
4?14 W 
4^24 2 
4^34 2 
0 
P 2 ~b V 
1 
p 2 -p 
p 2 + *2 2 
p 2 + V 
? a -+v 
0 
Der Koeffizient von p 4 in der Determinante verschwindet identisch, und man erhält 
0 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
0 
47 2 
4t 12 
4^3 2 
4Z 14 2 
b 2 
1 
4Z 12 2 
0 
4Z 2 3 2 
4 1, 2 
V 
1 
4? 1S 2 
4^*3 2 
0 
G 2 
1 
4?14 2 
4 V 
4?34 2 
0 
*4 2 
1 
V 2 
^2 2 
tA 
V 
0 
0 
1 
1 
l 
1 
1 
0 
4 / 12 2 
4^3 2 
4 ^14 
1 
4Z 12 2 
0 
4Z 2 3 2 
4 ^24 
1 
4^13 2 
4Z 23 2 
0 
4 ^34 
1 
4^i4 2 
4 ^ 2 
4 7 2 
0 
Die Gleichungen der Ebenen, welche die Kugelmitte enthalten und mit den Seiten 
des Vierecks rechte Winkel bilden, sind, wenn mit a ik, bik, ca die Richtungscosinus von 
Ai Ak bezeichnet werden, 
Cl ik ' X -\-b ilt ‘ y ~\~ Gik ' Z = yy — i 2 — V Je 2 — ti 2 -{- t fc 2 ^ , 
wobei 
ist. 
n * = x i 2 y i 2 -j- -z'i 2 
Staatsrat Prof. M. Grübler spricht über Gleichgewicht und Ruhe. 
An dem Beispiel eines materiellen Punktes, der in vertikaler kreisförmiger Bahn 
unter ausschliefslichem Einflufs der Schwerkraft steht, wird gezeigt, dafs Gleichgewichts- 
lagen und Ruhelagen nicht gleichbedeutend zu sein brauchen. 
Geh. Hofrat Prof. Dr. G. Helm spricht über eine Konstruktion des 
Krümmungskreises bei Kegelschnitten. 
Es handelt sich um die Aufgabe, zu einem nebst seiner Tangente t gegebenen 
Kegelschnittspunkte P das Krümmungszentrum G zu finden; als bekannt werden voraus- 
gesetzt der Mittelpunkt M des Kegelschnitts und die Richtungen (nicht die Längeu) 
der Achsen. Man kann zunächst die Normale n und die nach dem zweiten Schnitt- 
punkte des Krümmungskreises mit dem Kegelschnitt führende Gerade s zeichnen (s und t 
liegen harmonisch zu den Achsenrichtungen!). Wird nun der zu P in bezug auf eine 
Achse des Kegelschnitts symmetrische Punkt P' geradlinig mit Al verbunden und die 
erhaltene Gerade mit s zum Schnitt gebracht, so geht die im Schnittpunkt Häuf s er- 
richtete Senkrechte durch das Krümmungszentrum, das sich andrerseits auch auf n vor- 
findeii mufs. 
