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Fünfte Sitzung am 10. Oktober 1907. Vorsitzender: Staatsrat Prof. 
M. Grübler. — Anwesend 12 Mitglieder. 
Prof. Dr. E. Naetsch spricht über Lichtgrenzkurven und geo- 
dätische Linien. 
Als eine Lichtgrenzkurve einer gegebenen Fläche soll jede Kurve bezeichnet 
werden, welche auf dieser Fläche liegt und so beschaffen ist, dafs die zu den Punkten 
der betreffenden Kurve gehörenden Tangentialebenen der Fläche sämtlich zu einer und 
derselben Richtung (Lichtrichtung!) parallel sind, dafs also die längs der Kurve um die 
Fläche beschriebene Developpable eine Z.ylinderfläche ist. Dann läfst sich leicht einsehen, 
dafs es auf jeder nicht abwickelbaren Fläche im ganzen oo 2 Lichtgrenzkurven geben 
mufs. Andererseits enthält aber die Fläche bekanntlich auch genau oo 2 geodätische 
Linien; es ist daher der Fall denkbar, dafs auf einer nicht abwickelbaren Fläche jede Licht- 
grenzkurve eine geodätische Linie und auch umgekehrt jede geodätische Linie eine Licht- 
grenzkurve ist. Dafs dieser Fall wirklich vorkommt, zeigt das Beispiel der Kugeloberfläche. 
Im Vorfrage wird nun auf analytischem Wege der Nachweis erbracht, dafs die 
Kugeloberfläche die einzige Fläche von der gewünschten Beschaffenheit ist. Zu diesem 
Zwecke wird zunächst für eine beliebige Fläche, deren Gleichung in der Form z = f (x, y) 
angesetzt wird, einerseits die Differentialgleichung der Lichtgrenzkurven, andererseits 
die Differentialgleichung der geodätischen Linien aufgestellt; hierauf werden die not- 
wendigen und hinreichenden Bedingungen dafür formuliert, dafs diese beiden gewöhn- 
lichen Differentialgleichungen II. Ordnung miteinander identisch sein sollen. Es ergeben 
sich vier Bedingungsgleichungen, welche sich als vier partielle Differentialgleichungen 
III. Ordnung mit derselben unbekannten Funktion f (er, y) erweisen. Die nähere Unter- 
suchung zeigt, dafs dieselben ein „beschränkt integrables“ System bilden und dafs sich 
dieses zurückführen läfst auf ein System von zwei partiellen Differentialgleichungen 
II. Ordnung, welches seinerseits „unbeschränkt integrabel“ ist; nämlich auf das bekannte, 
sofort geometrisch zu deutende System 
r s t 
1 + P 2 ~ PV~~ f + L 2 ’ 
Bildet man aber mit der vollständigen Lösung des letzteren Systems, mit der Funktion 
f(x, y) = c-{- y& 2 — (x — a) 2 Sr(i/ — ö) 2 ( a b, c, k willkürliche Konstanten) 
die Gleichung z = f (cc, y), so hat man die Gleichung oo 4 der Kugeloberflächen des Raums. 
Diese sind somit in der Tat die einzigen Flächen von der gewünschten Beschaffenheit. 
Sechste Sitzung am 12. Dezember 1907. Vorsitzender: Staatsrat 
Prof. M. Grübler. — Anwesend 14 Mitglieder und Gäste. 
Geh. Hofrat Prof. Dr. G. Helm spricht über die Beziehungen der 
Sammelbegriffe zur Wahrscheinlichkeitsrechnung. 
Unter Bezugnahme auf seinen früher in der Isis (Sitzungsberichte 1899, S. 11) 
gehaltenen Vortrag über statistische Beobachtungen biologischer Erscheinungen ent- 
wickelt der Vortragende den Gedanken, die von Fechner zuerst bearbeiteten Kollektiv- 
gegenstände zur erfahrungsmäfsigen Grundlage der Wahrscheinlichkeitslehre zu machen. 
Nach dieser Auffassung bezeichnet Wahrscheinlichkeit niemals eine Eigenschaft des 
Einzelgegenstandes, von dem sie ausgesagt wird, sondern des Sammelbegriffs, dem dieser 
Einzelgegenstand angehört; nur über den Sammelbegriff, nicht über irgendein einzelnes 
ihm angehöriges Exemplar besitzen wir statistisches Wissen, und wenn wir es mit Hilfe 
des Wahrscheinlichkeitsbegriffs als ein quasi - Wissen über den Einzelgegenstand dar- 
stellen, so ist das nur eine oft bequeme, aber mit Vorsicht zu gebrauchende Ausdrucks- 
weise. So gibt z. B. die Wahrscheinlichkeit, aus einer Urne, die s schwarze und w weifse 
Kugeln enthält, bei zwei Zügen zwei weifse Kugeln zu ziehen, eine Eigenschaft des 
Sammelbegriffs aller Ziehungen von Kugelpaaren aus dieser Urne an, nämlich das 
Häufigkeit s Verhältnis der Paare weifser Kugeln zu allen möglichen Paaren. 
Die elementaren Lehrsätze der Wahrscheinlichkeitsrechnung ergeben sich bei diesem 
Ausgangspunkte unmittelbar durch Anwendung des disjunktiven Urteils auf die Sammel- 
begriffe. 
Während des Vortrags wurden verschiedene der Erfahrung entnommene oder auch 
logisch kombinierte Sammelbegriffe besprochen, zum Schlüsse auch die kollektiven Be- 
griffe physikalischer Natur, aiif die der Vortragende bei der diesjährigen Versammlung 
deutscher Naturforscher und Arzte hingewiesen hat. 
