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YI. Sektion für reine und angewandte Mathematik. 
Fünft© Sitzung am 9. Juli 1908. Vorsitzender: Rektor Prof. Dr. 
R. Henke. — Anwesend 12 Mitglieder und Gäste. 
Geh. Hofrat Prof. Dr. Ph. Weinmeister spricht über autopolare 
Kegelschnitte. 
Ein Kegelschnitt A ist einem andern B autopolar, wenn allen Punkten von A 
Polaren, in Beziehung auf B , zugeordnet sind, welche A berühren. A und B stehen 
hierbei im Doppelkontakt, und zwar ist die Berührung eine äufsere. Von beiden Kurven 
mufs eine immer eine Hyperbel sein, wenn sie nicht gerade beide Parabeln sind. Man 
kann nun A und B zentrisch so projizieren, dafs eine Ellipse und eine Hyperbel ent- 
stehen, die sich in den Scheiteln berühren und die aufserdem gleiche Achsen haben. In 
diesem besonderen Fall ergibt sich — und es überträgt sich dann ohne weiteres auf den 
allgemeinen — die Reziprozität von A und B. Beide sind einander autopolar. 
Jede durch den Schnittpunkt der gemeinsamen Tangenten gehende Sekante trifft den 
Kegelschnitt in einem Pol und dem Berührungspunkte seiner Polaren. Man kann nun 
das Dreieck der gemeinsamen Tangenten und der Berührungssehne als Koordinaten- 
Dreieck zugrunde legen und erhält dann für die Gleichungen der beiden Kegelschnitte 
z* = + 4 X x y. Hieraus ergibt sich, dafs die Zentrale beider von der Mitte und dem 
Pol der Berührungssehne harmonisch geteilt wird. Ist daher der eine Kegelschnitt und 
die Berührungssehne gegeben, so kann man leicht den zugehörigen autopolaren finden. 
Wenn der gegebene Kegelschnitt eine Hyperbel ist, so entsprechen allen Sehnen, welche 
die konjugierte Hyperbel schneiden, berühren, verfehlen, resp. autopolare Hyperbeln, 
Parabeln, Ellipsen. Von den vier Ästen zweier autopolarer Hyperbeln berühren sich 
drei, der vierte ist isoliert. Ist die eine autopolare Kurve eine Parabel, so liegt der 
Mittelpunkt der andern auf ihr. Zwei autopolare Parabeln berühren sich von aufsen, 
haben parallele Achsen und gleiche Parameter. Was den Kreis anbelangt, so ist zu 
bemerken, dafs die spitzwinklige Hyperbel zwei autopolare gleiche Kreise besitzt. Deren 
Radius ist r = a 2 :b. Für die Zentrale c gilt die Gleichung c 2 = r 2 — 6 2 . Die gleich- 
seitige Hyperbel hat einen, die stumpfwinklige keinen autopolaren Kreis. Durch Parallel- 
projektion der Hyperbel mit Kreis kann man die Aufgabe lösen, zwei durch die Längen 
der Achsen gegebene Kegelschnitte in autopolare Lage zu bringen. Endlich sei noch 
auf die Aufgabe hingewiesen, aus den allgemeinen Gleichungen zweier Kegelschnitte die 
drei Bedingungsgleichungen ihrer Autopolarität zu finden. 
Sechste Sitzung am 8. Oktober 1908. Vorsitzender: Rektor Prof. 
Dr. R. Henke. — Anwesend 8 Mitglieder. 
Studienrat Prof. Dr. R. Heger spricht über Taylor in Prima. 
Die Freunde entschiedener Reform führen ihre Schüler nicht blofs an die Pforten 
der Infinitesimalrechnung, sondern hinein in ihren elementaren Teil. Die einfacheren 
unendlichen Potenzreihen bilden einen wesentlichen Teil des mathematischen Unterrichts 
der Mittelschulen, daher kommt das Bestreben, die Taylorsche Reihe im Unterrichte als 
Schlufs der Differentialrechnung zu behandeln. Dem steht die Meinung entgegen, dafs 
eine exakte Behandlung an Zeit und Kraft der Schüler zu hohe Ansprüche stellt. Dazu 
ist zu bemerken, dafs auch die Behandlung der Reihen ohne Differentialrechnung die 
Schüler stark in Anspruch nimmt, hauptsächlich aber, dafs der Einwand auf nicht richtiger 
Fragestellung beruht. Die Schule ist an vielen Stellen nicht imstande, den Anforderungen 
strenger Wissenschaftlichkeit zu genügen, sondern mufs sich begnügen, wenn das von 
ihr Gebotene von der wissenschaftlichen Kritik als eben noch zulässig befunden wird. 
So ist auch betreffs des Taylorschen Satzes die Frage so zu stellen: Gibt es eine 
Ableitung, die für die Schüler nicht zu schwer und wissenschaftlich eben 
noch zulässig ist? Dies ist zu bejahen, wie folgende Ableitungen zeigen. _ 
Voraussetzungen sind: der binomische Satz für natürliche Exponenten, die unend- 
liche geometrische Reihe, die Exponentialreihe (nach Baltzer, Elemente der Mathematik), 
letztere, um den Schülern diese sehr durchsichtige Ableitung nicht vorzuenthalten und 
um für die Differentialrechnung die unbequeme Ermittelung von lim^l zu 
umgehen. Dann folgt die Differentialrechnung mit dem Mittelwertsatze. Hierauf 
