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die Frage, ob auch andere Funktionen als 1 : (1 — x) und e* in Potenzreihen entwickelt 
werden können. Dann unter der Voraussetzung, dafs die Entwickelung innerhalb einer 
gewissen Giltigkeitsstrecke möglich ist, die Ableitung der Taylorschen Reihe nach der 
Methode der unbestimmten Koeffizienten. Zur Entscheidung über die Giltigkeit bieten 
sich drei Wege, keiner zu schwer für den Unterricht. 
1. Weg. Für die Funktion 
ist 
F (x) = f (sc) — f (0) — x . f' (0) — • • • — x n 
F'(x) = f'(x)-f'(0)-x.f" (0)- 
F" (x) = f" (x) - f" (0) — x . ?” (0) 
f(n) (Q) 
n ! 
und daher 
F( n ) (x) = f( n ) (x) — f( n ) (0) 
F(n + 1) ( x ) — f(n + l)(aj) 
F' (0) = F" (0) = • • • = F(n) (0) == 0. 
Jede so gebildete Funktion F hat hiernach die Eigenschaft, dafs sie selbst nebst ihren 
ersten n Differentialquotienten für x = 0 verschwindet, während die folgenden mit denen 
der Funktion f übereinstimmen. Fügt man die Bedingung hinzu, dafs die Funktion fix) 
und alle ihre Differentialquotienten von 0 bis x endlich und stetig sind, so gilt dasselbe 
von F. Bildet man die Funktion 
H(z) = x n + 1 . F(z) — F(x) .z n + 1, 
worin x gegeben, z veränderlich ist, so wird 
H f (z) — x n + J- . F' (z) — (n + 1) . F(x ) . z n , 
also endlich und stetig für die Strecke 0 bis x; daher ist nach dem Mittelwertsatze 
H (x) = H (0) + \x n + 1 . F' (£,) — (n -J- 1) . F(x ) . . x, O^^^x. 
Da nun H (0) .= H (x) = 0, so folgt 
F(x)_ F'(Q 
l 
X n + 1 
Wiederholte Anwendung führt auf 
F(x)_ F’ (CG _ F" (£ 2 ) _ 
2T(« + !)'(£)■ 
x n + 1 in -j- 1) Ci w (n 4~ 1 ) n • K,i n ~~ 1 (w + 1)! 
wobei alle die ^ £ 9 . . . £ zwischen 0 und x liegen. Daher folgt 
f(n + l) (£) 
(n + Dl’ 
f(x) = f (0) + os 
f (0) 
4 b xn 
f( n ) (0) 
j- xn 
ft w+l )(£) 
1 ! ' 1 n! 1 ~ [n + 1) ! 
Keine der hier verwendeten Schlufsfolgerungen ist zu schwer für mathematisch 
geübte Oberprimaner, auch das Ganze hinlänglich durchsichtig und bündig. Dasselbe 
gilt von dem in den meisten Kompendien enthaltenen 
2. Weg. Die Funktion 
1 
ergibt 
F'(z) = f'(z) +^ 
f"(ß) + ---4- 
-rw- 
(x — z) n 
n\ 
{x—zy — 1 
f(n)(z) 
1! 
fi n + B (z) 
f"(z)~ 
2! 
(x - 
*) 9 
2! 
(n — 1 )! 
(x — z) n - 
in — 1) ! 
,^’V o, + !)(*) 
f(n)iz) 
Wenn f, f r , f”, ... f(n + i) endlich und stetig sind für £ = 0 bis z = x , so gilt dasselbe 
von F {. z ) und F' iz), und man hat nach dem Mittelwertsatze 
F ix) = F(0) + — /> + U (£) . x • 
Ist X ein echter Bruch, so kann man £ = Xa; setzen und hat 
(# — £)» = sc» (1 — X) w ; 
da ferner F{x) = fix\ so folgt 
(«) = m + « • ^ + -+*■• + + « » 
n\ 
(» + !)! 
