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3. Weg. Unter der Voraussetzung, dafs f(x) und f'{x) von x bis x + § endlich 
und stetig sind, ist die Uleichung 
f(aj + S) = f(aj) + ff . f'(x) 
um so genauer richtig, je kleiner § ist; unter den entsprechenden Voraussetzungen er- 
gibt sich hieraus 
f (x + 2 8) = f (x + §) -f 8 . f (x + 8) 
= {f(x) + S.f (*)} + 8 {f (x) + 8 . f" (*)} 
= f(ps) + Z8.f' (a) + 8 *.f"(x). 
Durch den Schlufs von k auf k + i erhält man 
f(x + nS )=f(x)+ (») fix) .«■(*) f" ix) . S 2 H + F) f(«Hx) . 8» . 
Nimmt man n unendlich und nd gleich einer endlichen Zahl h, so ist, unter der Voraus- 
setzung, dafs f 1 f'i f", . . . für die Strecke x bis x -\-h stetig und endlich sind, 
f(x + h) = lim {ft«) + I (») f (x).h + i (») f" («?).»•+•••}. 
Für jedes 7c, für das lim k\n = 0, hat man 
^©“«■ÜO-OO-D-O-^K- 
lim 
Für jedes gröfsere Je ist 
lim 
nk 
folglich 
lim Ip © w*) ■ hl + pU G© f(t+1) w • ^ + 1 + • • • } 
!/•(*=)(*), f9 + . 
i - jn _w + i*+ijr w+ + 
} 
Nach der Voraussetzung sind f(&), fU + i), ... alle endlich; ist M der gröfste innerhalb 
der Strecke von x bis x-\-h vorkommende Wert, so ist 
P 
h , P 
ir** + <4 {f! + '"} 
Da man immer h <Z k voraussetzen kann, so hat man schliefslich 
fc! ( X 4 Je 7c 2 
/W (x) 
P 
■ p 
IM * in 
7c 
fc! " 7c! fc + fe 
Wächst 7c ins Unendliche, so enthält der Bruch 
Ink h ln h h 
‘ 2*3 ¥ 
höchstens eine beschränkte Anzahl von Faktoren, die gröfser als 1 sind, neben unendlich 
vielen echt gebrochenen, die zur Grenze Null abnehmen; folglich 
und daher 
lim ^¥i( 1 + l + "') =0 ’ 
f(x + h) = f.(x)-\- 
f (afl 
1! 
7^-1 
r o*o 
2! 
P 
giltig, wenn f, f, f", jf 7 ", .... innerhalb der Strecke von x bis x + h stetig sind. 
Auch diese Ableitung macht keine zu weitgehenden Ansprüche an die Schüler und 
dürfte wissenschaftlich zulässig sein. Sie zeichnet sich vor den andern dadurch aus, 
dafs die Untersuchung des Restgliedes wegfällt. 
Bei den Anwendungen machen sin x und cos x keine Schwierigkeiten. Mehr Um- 
stände macht ( l-\-x) m , doch müssen diese in gleicherweise überwunden werden, wenn 
man (l-\-x) m ohne Differentialrechnung aus den Funktionaleigenschaften der Reihe ab- 
leitet. Für arctan x und arcsin X, die man gern entwickeln wird, um Reihen für tc zu 
erhalten, wird es zulässig sein, von 
d arctan x _ . , 
= =1 — X 2 -F £C 4 — 
d x 
d arcsin x 
d x 
auszugehen. — ■ 
