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Die Zahlenlehre beginnt zunächst mit den ganzen Zahlen und an 
ihnen werden die vier Grundrechnungsarten: die Addition, Subtraktion, 
Multiplikation und Division gelehrt und eingeübt. Dann wird es nötig, 
die Rechenoperationen durch Einführung neuer Zahlenarten in allen Fällen 
ausführbar zu machen. Aus den zunächst nur vorhandenen positiven 
ganzen Zahlen entstehen die gemeinen Brüche durch Division, die nega- 
tiven Zahlen werden durch die Subtraktion veranlafst. So wie man aus 
der Summe gleicher Glieder den Begriff des Produkts bildet, so sieht 
man sich später genötigt, das häufig vorkommende Produkt gleicher 
Faktoren als Potenz zu definieren und damit eine neue Operation, das 
Potenzieren, einzuführen. Man erkennt dann weiter, dafs, während Addi- 
tion und Multiplikation nur je eine Umkehrung, die Subtraktion und die 
Division, zulassen, die Potenzierung zwei Umkehrungen ergibt, das Radi- 
zieren und das Logarithmieren. Auch hier mufs man neue Zahlenarten 
einführen, wenn man diese Umkehrungen allgemein ausführbar machen 
will. Das einfachste Beispiel ist bekanntlich die Umkehrung des Qua- 
drierens. Wir bedienen uns zu dieser kurzen Klarlegung allgemeiner Zahlen, 
die durch Buchstaben dargestellt werden, und weisen dabei nur kurz darauf 
hin, dafs durch die Einführung von Buchstaben eines der gewaltigsten 
Hilfsmittel der Mathematik zugeführt worden ist — nebenbei bemerkt in 
gewissem Sinne die einzige, allgemein anerkannte Weltsprache. Die Be- 
deutung der Buchstabenrechnung beruht vor allem darauf, dafs die Er- 
gebnisse der Rechnung allgemein gültig sind, d. h. dafs man in eine fertige 
Formel, die die Antwort auf eine vorgelegte Frage enthält, beliebige 
Zahlenwerte einsetzen kann, ohne jedesmal von neuem wieder dieselbe 
gedankliche Arbeit zu leisten, die eben schon bei der Entwickelung der 
Formel aufgewendet wurde. Ist also in der Gleichung y — x 1 die Gröfse y 
gegeben und soll x berechnet werden, so drückt man diese Forderung 
unter Benutzung eines neuen Symbols durch die Gleichung x = y/y aus. 
Für den Fall, dafs y das Quadrat einer ganzen oder gebrochenen Zahl 
ist, kann man eine Rechenvorschrift, einen Algorithmus angeben, der die 
Bestimmung dieser Zahl ermöglicht. Man merkt aber bald, dafs wenn y 
eine beliebige positive Zahl ist, der Algorithmus kein Ende hat und kann 
leicht beweisen, dafs der entstehende unendliche Dezimalbruch nichtperiodisch 
ist. So wird die Berechnung von x nur mit „ beliebiger Annäherung“ 
möglich ; man nennt den nicht durch die bisherigen Zahlen darstellbaren 
Wert der Quadratwurzel eine irrationale Zahl und bezeichnet die bis- 
herigen Zahlen zum Unterschiede davon als rationale Zahlen. Ist aber 
y eine negative Zahl, so erfordert die Lösung der Aufgabe abermals die 
Einführung einer neuen Zahlenart, der imaginären Zahlen, während 
man die rationalen und irrationalen Zahlen reelle Zahlen nennt. (Es 
ist wohl unnötig hier genauer darauf einzugehen, dafs diese Namen so 
mifsverständlich wie möglich sind, dafs die positiven ganzen Zahlen genau 
so abstrakte Begriffe vorstellen, wie die imaginären Zahlen.) Die Rechnung 
mit imaginären Zahlen führt sofort auf die komplexe Zahl, die Summe 
einer reellen und einer imaginären Zahl. Man kann nun erstens zeigen, 
dafs die Quadratwurzel aus einer irrationalen Zahl wieder eine irrationale 
Zahl ist und zweitens, dafs auch die Quadratwurzel aus einer komplexen 
Zahl eine komplexe Zahl ergibt. Ferner aber ist es wesentlich, dafs auch 
n 
die Umkehrung der Gleichung y = x n , nämlich x = yjy nicht zu neuen 
