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Zahlen führt. Die bis jetzt genannten Zahlen bilden allen besprochenen 
Operationen gegenüber einen in sich geschlossenen Bereich von Gröfsen. 
Eine andere Frage ist freilich die nach der wirklichen Ausführung der 
Operationen, nach der vollständigen Auflösung solcher Aufgaben, und dazu 
bedarf man neuer Hilfsmittel, deren Besprechung hier unerläfslich ist. 
So wie man zur Berechnung der Quadratwurzel aus einer positiven 
reellen Zahl einen Algorithmus angeben kann, so kann man auch für 
dritte und höhere Wurzeln Rechenverfahren ersinnen, nur werden diese 
Algorithmen immer komplizierter, ihre Anwendung immer zeitraubender. 
Man könnte daran denken, für jede dieser Wurzeln eine Tabelle zu be- 
rechnen, aus der sowohl die betreffende Potenz, als auch die Wurzel mit 
einer gewissen Genauigkeit abzulesen wäre. Bekanntlich hat sich aber 
gezeigt, dafs man mit einer einzigen Tabelle für alle Wurzeln auskommt, 
mit der Logarithmentafel, die in ihrer gewöhnlichen Form auf der Um- 
kehrung der Gleichung y — 1(U beruht. Allerdings setzt dies eine Er- 
weiterung des Begriffs der Potenz voraus, die im wesentlichen von Newton 
herrührt, die Definition einer Potenz mit negativem ganzen, mit gebrochenem 
und mit irrationalem Exponenten. Jede reelle positive Zahl y läfst sich 
dann als Potenz von 10 darstellen; der Exponent x heifst der Logarith- 
mus des Numerus y zur Grundzahl 10, der dekadische oder gemeine 
Logarithmus von y ... . x = log y und man kann eine Tabelle herstellen, 
aus der man mit gewisser Annäherung zu jeder reellen positiven Zahl den 
Logarithmus und zu jedem positiven oder negativen reellen Logarithmus 
den Numerus bestimmen kann. Aus den elementaren Sätzen über Potenz- 
rechnung folgt dann, dafs der Logarithmus des Produkts oder Quotienten 
zweier Zahlen gleich der Summe oder Differenz ihrer Logarithmen, der 
Logarithmus der n - ten Potenz einer Zahl das w-fache ihres Logarithmus 
ist; n kann dabei eine beliebige reelle Zahl sein, sodafs das Problem der 
angenäherten Wurzelberechnung für reelle positive Radikanden erledigt 
scheint. 
Eine wesentlich neue Fragestellung drängt sich aber auf, wenn man 
beachtet, dafs jede Quadratwurzel zwei Werte hat, die entgegengesetzt 
gleich sind; so führt die Gleichung x 2 = 1 auf die Werte + 1 und — 1. 
Wie steht es nun mit der Gleichung x n — 1, unter n eine positive ganze 
Zahl verstanden? Eine allgemeine und kurze Antwort auf diese Frage 
läfst sich nur unter Einführung neuer Symbole geben, deren Ursprung 
auf ganz anderem Gebiete liegt. Bevor wir aber auf diese Dinge eiri- 
gehen, ist es unbedingt erforderlich, zweierlei zu besprechen, was grofse 
Gebiete der Mathematik anschaulich und lebensvoll macht, die Funktion 
und die graphische Darstellung, eine Anschauungsweise und eine 
Methode, die nicht früh genug im elementaren Unterrichte eingeführt 
werden können. 
Schon im allerersten Rechenunterrichte tritt eine Gattung von Auf- 
gaben auf, die Dreisatzaufgaben (Regel de tri, Schlufsrechnung), bei denen 
die Abhängigkeit einer Gröfse von einer anderen betrachtet werden mufs. 
Damit sind zwei neue und wichtige Begriffe verbunden, der Begriff der 
veränderlichen Zahl und der Begriff der funktionalen Abhängig- 
keit. Ihre Wichtigkeit liegt in ihrer Fruchtbarkeit, da sie bei allen 
möglichen Fragestellungen auftreten; bei allen möglichen Aufgaben erhält 
man erst dann vollen Einblick, wenn man eine oder mehrere der gegebenen 
Gröfsen als veränderlich ansieht und die Abhängigkeit anderer von ihnen 
