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studiert. Schon die vier Grundrechnungsarten geben zu solchen Betrach- 
tungen Anlafs, wenn man y = xYa, y = ax, y = — schreibt, unter a eine 
x 
feste, unter x eine beliebig veränderliche Zahl versteht und y als Funktion 
von x auffafst; setzt man y — x z , so erhält man mehrere Möglichkeiten, 
indem man irgend einer der drei Zahlen einen festen Wert beilegt, eine 
zweite als beliebig veränderlich und die dritte als die abhängige Ver- 
änderliche, als die Funktion betrachtet. Zu gröfserer Klarheit kommen 
diese Begriffe aber erst, wenn eine graphische Darstellung die funktionale 
Abhängigkeit einer reellen Zahl von einer beliebig veränderlichen andern 
reellen Zahl veranschaulicht. Fast ausschliefslich werden dazu zwei 
Methoden benutzt. Die eine ist die von Descartes angegebene Methode 
rechtwinkliger Koordinaten, bei der z. B. das gerade Verhältnis y = ax 
eine durch den Koordinatenursprung gehende Gerade, das umgekehrte 
Verhältnis y — — eine gleichseitige Hyperbel als „Diagramm“ ergibt. 
x 
Die andre ist die Methode der Polarkoordinaten, die weiter unten be- 
sprochen werden soll. Eine wesentliche Erweiterung mufste diese Dar- 
stellung nach Einführung der komplexen Zahlen erfahren. Eine beliebig 
veränderliche Gröfse z = x + iy erfordert ja zu ihrer Darstellung schon 
die ganze Ebene; ebenso ist für die abhängige Gröfse Z—X-\-iY eine 
ganze Ebene nötig, es schwindet also zunächst die einfache Darstellung 
der funktionalen Abhängigkeit durch die Punkte einer Kurve. Jedem 
Punkte, jeder Linie, jedem Bereiche der z- Ebene entspricht dann ein 
Punkt, eine Linie, ein Bereich der Z- Ebene und um- 
Fig. 1. gekehrt — wobei allerdings die bei vielen Funktionen 
auftretende Mehrdeutigkeit nicht aufser Acht gelassen 
werden darf. Zur bequemeren Veranschaulichung führen 
wir nun Polarkoordinaten ein. Dazu müssen wir die 
ursprünglich zum Zwecke der Dreiecksberechnung er- 
y fundenen W inkelfunktionen sin, cos, tan, cot heran- 
— — x — — ziehen. Ihre Untersuchung zeigt zunächst, dafs sie perio- 
dische Funktionen sind, was bei ihrer graphischen 
Darstellung besonders anschaulich wird. Aus der bei- 
stehenden Figur ist unmittelbar ersichtlich, dafs 
z = x iy = r (cos cp + i sin (p) 
x — r cos (p r = + yjx 2 + y 2 
y = r sin (p tan <p = y : x 
ist. Soll nun die Funktion z 2 — Z oder z — 'SjZ untersucht werden und 
setzt man Z=X-\-iY=R { cos <P + i sin CP), so ergeben sich aus der 
leicht zu berechnenden Formel z 2 = r 2 ( cos 2 (p + i sin 2 (p) die Bezieh- 
ungen R = r 2 und cP = 2 (p. Erteilt man r einen festen Wert und läfst 
( p von 0 bis n (= arc 180°) zunehmen, so hat auch R — r 2 einen festen 
Wert und <I> durchläuft die Werte von 0 bis 2 tc. Während also der 
Punkt z einen Halbkreis um den Nullpunkt vom Punkte + r der x-Achse 
über den Punkt ri der y - Achse bis zum Punkte — r durchläuft, be- 
schreibt der Punkt Z in seiner Ebene einen vollen Kreis mit Badius 
R — r 2 um den Nullpunkt. Er durchläuft diesen ein zweites Mal, wenn 
z den andern Halbkreis von cp = n bis cp — 2 n durchmifst. Da nun r 
jeden beliebigen positiven reellen Wert annehmen kann, so erkennt man: 
jedem Punkte der Z - Ebene entspricht nicht ein Punkt der Ebene, 
