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sondern es entsprechen ihm zwei verschiedene Punkte im selben Abstande 
r vom Nullpunkte und mit Argumenten #>, die sich um tc von einander 
unterscheiden; die Verbindungslinie zweier solcher Punkte wird also vom 
Nullpunkt halbiert. Man betrachtet daher auch die Z- Ebene als aus 
zwei auf einander liegenden Blättern bestehend und ordnet dem oberen 
Blatte etwa die oberhalb der x- Achse gelegene halbe z- Ebene zu und 
dem unteren Blatte die untere Hälfte der £- Ebene. 
Diese Betrachtungen erscheinen auf den ersten Augenblick sehr 
schwierig und man könnte meinen, dafs eine solche mehrdeutige Be- 
ziehung zweier Ebenen etwas dem gewöhnlichen Leben völlig Fernliegendes 
sei. Betrachten wir aber einmal die Bewegungen der beiden Zeiger einer 
Uhr, so erkennen wir da eine viel kompliziertere Abhängigkeit. Zwölfmal 
dreht sich der grofse Zeiger herum, während der kleine Zeiger nur eine 
Umdrehung macht. Jeder Stellung des Stundenzeigers entspricht eine einzige 
Stellung des Minutenzeigers; aber jeder Stellung dieses letzteren entsprechen 
zwölf verschiedene Stellungen des kleinen Zeigers: Wir haben eine ein- 
zwölfdeutige Beziehung. Man könnte sich also 13 Zifferblätter über- 
einander gelegt denken. Das erste gehört dem kleinen Zeiger an, der auf 
ihm die Stunden angibt. Die andern 12 dienen in folgender Weise dem 
Minutenzeiger: Um 12 Uhr beginnt er seinen Lauf über das erste Blatt; 
hat er den ersten Umlauf vollendet, so schlüpft er auf dem nach XII 
gehenden Radius unter das erste Blatt und gelangt so zum zweiten, um 
auf diesem seine Drehung auszuführen. Dann kommt das dritte, das vierte 
u. s. f. bis zum zwölften daran, und darauf erhebt er sich wieder bis zum 
ersten Blatt. Wir haben so für den Minutenzeiger eine sogenannte 
12-blättrige Riemannsche Fläche konstruiert. 
Von hier aus gelangen wir leicht zur völligen Beantwortung der oben 
aufgeworfenen Frage über diejenigen Werte, die der binomischen Gleichung 
n- ten Grades genügen, die wir jetzt allgemeiner z n = Z schreiben, wobei 
n wieder eine positive ganze Zahl bedeutet. Man erkennt durch dieselben 
Betrachtungen wie oben, dafs jedem Werte von Z n verschiedene Werte 
von z zugehören, die auf einem Kreise mit Radius r — R n die Ecken 
n 
eines regelmäfsigen n- Ecks bilden. So hat also y Z n verschiedene Werte 
und die Gleichung z n = Z hat für jeden bestimmten Wert von Z n ver- 
schiedene Lösungen oder Wurzeln. Setzt man insbesondere Z— 1, so 
gibt die Gleichung z n = 1 die sogenannten n- ten Einheits wurzeln 
2 kn . . 2 k n 
Zu = cos h ^ sm 1 
n n 
wobei man k der Reihe nach die Werte 0, 1, 2, ... n — 1 beizulegen hat. 
In der Elementarmathematik wird nun gezeigt, dafs man jede qua- 
dratische Gleichung auf eine binomische Gleichung zurückführen kann, 
sodafs also jede quadratische Gleichung zwei Wurzeln hat, die allerdings 
auch gelegentlich denselben Wert haben können. Es erhebt sich daher 
die Frage, ob auch die allgemeine Gleichung n-ten Grades 
z n + a 1 z n ~ 1 + a 2 z n ~ 2 + • • + a n -\Z + a n = 0, 
bei der die Koeffizienten a 1 a 2 ... komplexe Zahlen sind, immer n Wurzeln hat. 
Das kann nun in der Tat durch Betrachtungen erwiesen werden, die 
sich an die oben ausgeführten anschliefsen. Ist hiermit die Auflösbarkeit 
einer jeden algebraischen Gleichung bewiesen, so entsteht die weitere 
