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Aufgabe, einen Algorithmus zur Berechnung der Wurzeln zu finden. Die 
Vermutung liegt nahe, dafs man hier zu w-ten Wurzeln kommen wird. Es 
war daher ein grofses Ereignis, als Abel zeigte, dafs die bisher benutzten 
Symbole zur Lösung der allgemeinen Gleichungen von höherem als dem 
vierten Grade nicht mehr ausreichen, oder genauer gesagt, dafs es keine 
aus einer endlichen Anzahl von Wurzeln gebildeten Ausdrücke in den 
Koeffizienten einer allgemeinen Gleichung von höherem als dem vierten 
Grade geben könne, die der Gleichung genügen. Es ergibt sich daraus 
die Forderung, neue Funktionen zu bilden, die jene Aufgabe lösen. Man 
wird mithin bei den höheren Gleichungen zu untersuchen haben, auf 
welche einfachste Formen sie reduziert werden können und nun die Ab- 
hängigkeit der Gröfse z von den Koeffizienten studieren. So zeigt sich, 
dafs die allgemeine Gleichung fünften Grades auf eine Form gebracht 
werden kann, in der nur noch ein einziger unbestimmter Koeffizient vor- 
handen ist, sodafs die Wurzeln Funktionen nur einer willkürlichen Gröfse, 
eben dieses Koeffizienten sind. 
Wir haben oben eine Ebene mit Hilfe der Funktion z* = Z zu 
einer andern Ebene in Beziehung gesetzt, indem wir z und Z als Punkte 
in je einer dieser Ebenen deuteten. Setzt man allgemein Z = f(z), so 
kann man ebenso verfahren. Eine derartige Untersuchung nennt man die 
Abbildung einer Ebene auf eine andre Ebene und diese Abbildungen 
spielen zunächst in der Funktionen theorie eine gröfse Rolle. Hat man in 
der z - Ebene zwei Linien, die sich unter irgend einem Winkel schneiden, 
so schneiden sich die Abbildungen in der Z- Ebene unter demselben 
Winkel; man nennt solche Abbildungen in den kleinsten Teilen ähn- 
lich oder konform. Da nämlich einer Geraden der z - Ebene im all- 
gemeinen nicht wieder eine Gerade der Z- Ebene entspricht, so wird ein 
geradliniges Dreieck der z - Ebene durch ein krummliniges Dreieck der 
if-Ebene abgebildet. Je kleiner man nun die Seiten des geradlinigen 
Dreiecks nimmt, desto mehr wird sich das krummlinige Dreieck dem gerad- 
linigen Sehnendreieck in der Z- Ebene nähern, das dann wegen der Über- 
einstimmung in den Winkeln jenem ähnlich ist. 
Übrigens sind die Abbildungen auch sonst von Nutzen und häufig 
verwendet. Schon in der elementaren Geometrie betrachtet man kon- 
gruente und insbesondere auch symmetrisch gelegene Figuren; ferner ähn- 
liche und insbesondere ähnlich gelegene Figuren. Man braucht sich nur 
vorzustellen, dafs sich die Figuren in zwei verschiedenen, auf einander 
liegenden Ebenen befinden, um sofort die kongruente oder die ähnliche 
Abbildung einer Ebene auf die andre zu haben. Projiziert man eine Ebene, 
d. h. die auf ihr liegenden Punkte und Linien durch parallele Strahlen 
auf eine zweite sie schneidende Ebene, so erhält man eine affine Ab- 
bildung (Beispiel: ebene Schnitte eines Prismas), und läfst man die Strahlen 
von einem im Endlichen gelegenen Raumpunkte ausgehen, so ergibt sich 
die Perspektive Abbildung (Beispiel: ebene Schnitte einer Pyramide). 
Berührt eine Ebene eine Kugel in dem einen Endpunkte eines Durch- 
messers, so wird jeder durch den andern Endpunkt gehende Strahl die 
Kugel in einem weitern Punkte schneiden und auch mit der Ebene einen 
Schnittpunkt haben; man bezeichnet dann den einen Schnittpunkt als das 
Bild des andern. Jede Figur auf der Kugel erhält dann ein Bild in der 
Ebene. Diese sogenannte stereographische Projektion, die in den kleinsten 
Teilen ähnlich ist, findet zur Abbildung von Teilen der Erdkugel in den 
