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Atlanten Anwendung, wo überdies noch manche andre Abbildung an- 
gewendet wird, auf deren mathematische Theorie einzugehen hier unmög- 
lich ist. Man sagt auch, die beiden Flächen seien verwandt und das 
Studium der V erwandtschaften kann offenbar sowohl geometrisch , als 
auch analytisch oder funktionentheoretisch betrieben werden. Im ersten 
Falle wird man z. B. sein Augenmerk darauf richten können, welche 
Eigenschaften einer Figur bei der Abbildung _ (Transformation) erhalten 
bleiben; so ändern sich beispielsweise bei der Ähnlichkeits-Transformation 
weder die Winkel noch die Streckenverhältnisse. Im zweiten Falle wird 
man ebenso fragen können , welche analytische Ausdrücke ungeändert 
(invariant) bleiben. 
Oben war die graphische Darstellung der Funktionen im reellen Ge- 
biete nach der Methode der rechtwinkligen Koordinaten erwähnt worden. 
Jedem Wertpaare x, y entspricht ein Punkt der Ebene und eine Gleichung 
zwischen x und y bestimmt durch die unendlich vielen Wertpaare x, y, 
die ihr genügen, eine Kurve. So wird also ein geometrisches Gebilde 
analytisch durch eine Gleichung y = f(x) oder <f (x, y) — 0 vollständig 
bestimmt. Man kann nun offenbar Gleichungen zwischen x und y an- 
setzen und untersuchen, welche Gestalt und Eigenschaften die durch sie 
definierten Kurven haben. Aber auch umgekehrt kann man jeder in der 
Ebene ausgeführten Konstruktion durch eine analytische Rechnung nach- 
folgen und z. B. die Gleichung eines punktweise gezeichneten geometrischen 
Ortes aufstellen. Man wird dann weiter geometrisch gefundene Eigen- 
schaften der Kurven ebenso in den Eigenschaften ihrer Gleichungen 
wiederfinden, wie man auch aus den Ergebnissen von analytischen Rech- 
nungen geometrische Sätze erkennen wird. Übrigens ist dies Verfahren 
schon beim Elementarunterrichte in der sogenannten algebraischen Analysis 
angedeutet. Zwei andre Keime aber, die schon in der elementaren Geo- 
metrie vorhanden sind, haben hier eine fruchtbare Weiterentwickelung 
gefunden, das Problem der Tangenten und die Inhaltsberechnung. Schon 
beim Kreise sollte von Anfang an die Tangente als Grenzlage einer Sekante 
betrachtet werden; dann erkennt man das W esentliche der Kurventangente 
darin, dafs sie als Verbindungslinie zweier 
unendlich benachbarter Kurvenpunkte die Fig. 2. 
Richtung der Kurve an einer Stelle an gibt. 
Ist a der Winkel, den die Verbindungslinie 
zweier Kurvenpunkte P ± und P 2 mit der 
x - Achse bildet, so wird tan a gleich der 
Ordinatendifferenz dividiert durch die Ab- 
szissendifferenz 
tan er = 
__y 2 — Vi 
Xo — X* 
Rechnet man diesen Quotienten für 
eine gegebene Kurvengleichung aus, so kann 
man hierin die Abszissendifferenz immer 
kleiner werden lassen, indem man mit x 2 
an x ± herangeht; im allgemeinen wird 
dann auch die Ordinatendifferenz immer 
kleiner und man erhält schliefslich für unendlich kleine Differenzen, also 
im Grenzfall, als Grenzwert jenes Differenzenquotienten tan v, wenn man 
mit t den Winkel bezeichnet, den die Kurventangente des Punktes P t 
