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Fi g. B. 
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mit der sc-Achse bildet. Aus demselben Grunde erkennt man, dafs für 
den Winkel & = 90° — t, den die Kurventangente mit der y - Achse 
einschliefst, tan & der Grenzwert der Abszissendifferenz dividiert durch 
die Ordinatendifferenz ist, dafs also dieser zweite Grenzwert das Reziprokum 
des ersten ist. Diese Grenzwerte nennt man Differentialquotienten und 
man versteht, dafs die Konstruktion der Tangente in einem beliebigen 
Kurvenpunkte völlig bestimmt ist, wenn man den einen jener beiden 
Differentialquotienten berechnen kann. Von hier aus hat die durch 
Leibniz begründete Differentialrechnung ihren Ausgang genommen. 
Bei der Inhaltsbestimmung des Kreises (und ebenso bei der Berech- 
nung des Kreisumfanges) gelingt die Lösung nur dadurch, dafs man eine 
Summe von unendlich vielen, unendlich kleinen Gröfsen herstellt. Zur 
praktischen Berechnung geht man ja von irgend einer regelmäfsigen Teilung 
des Kreises aus und verdoppelt die Anzahl der Teile so oft, bis die ge- 
wünschte Annäherung erreicht ist, theoretisch aber mufs man sich diesen 
Prozefs unendlich weit fortgesetzt denken. Solche Summen von unendlich 
vielen, unendlich kleinen Gröfsen nennt man 
Integrale, und die Art ihrer Einführung bei 
einer beliebigen Kurve y = f(cc) erkennt man 
am besten aus der beistehenden Figur. Die 
grundlegende Aufgabe ist, die Fläche zu be- 
rechnen, die von einem Kurvenbogen, den 
Grenzordinaten und der x -Achse umschlossen 
wird. Das betreffende Stück der sc-Achse teilt 
man in n gleiche Teile und summiert die zu- 
gehörigen Rechtecke. Je gröfser man n werden 
läfst, desto näher kommt man an die gesuchte Fläche und für unendlich 
grofses n erhält man diese selbst. 
So wie sich nun an die Planimetrie die analytische, oben charakteri- 
sierte Geometrie der Ebene anschliefst, so erhält die Stereometrie ihre 
Weiterführung in der analytischen Geometrie des Raumes. Die Lage eines 
Raumpunktes kann ja durch seine Abstände von drei zu einander senk- 
rechten Ebenen festgelegt werden. Den Gebilden im Raume entsprechen 
dann Gleichungen zwischen drei veränderlichen Gröfsen und umgekehrt 
kann man solche Gleichungen durch Raumfiguren anschaulich deuten. Den 
geometrischen Konstruktionen und Beziehungen im Raume entsprechen dann 
gewisse Rechenoperationen und Gleichungen und umgekehrt. Die Differential- 
rechnung bestimmt bei Raumkurven und Flächen Tangentialebenen, Normalen 
usw., die Integralrechnung Kurvenlängen, Oberflächen, Rauminhalte. Auch 
hierfür finden wir in der Elementarmathematik Ansätze bei der Berech- 
nung der Oberflächen von Zylinder, Kegel und Kugel, bei der Inhalts- 
bestimmung nach dem Cavalierischen Satze, bei den Guldinschen Regeln. 
Um nun Raumgebilde anschaulich zu machen, kann man sie entweder 
in wahrer Gröfse nachbilden, Modelle von ihnen herstellen, man kann 
zweitens von ihnen nach gewissen, genau bestimmten Regeln Reliefs an- 
fertigen oder man kann das dreidimensionale Gebilde durch Projektion in 
einer Ebene darstellen. Diese letztere Methode, Raumgebilde in der 
Ebene durch Zeichnung anschaulich zu machen, hat zu einer sehr weit- 
ausgedehnten Disziplin geführt, zur darstellenden Geometrie, die ja 
auch im Schulunterrichte seit langem Fufs gefafst hat. So wie in der 
darstellenden Geometrie auf zeichnerischem Wege, meist ohne Rechnung, 
