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ebenfalls geometrische Lehrsätze — beispielsweise über Kegelschnitte — 
entwickelt werden, so kann man nun überhaupt grundsätzlich auf analytische 
Rechnung verzichten und rein geometrisch etwa Kurven punktweise durch 
Konstruktion gewinnen, oder durch bewegliche Mechanismen erzeugen und 
sie dann untersuchen. Auf solchen Wegen geht die Geometrie der Lage 
und die Kinematik. 
Wir haben an einzelnen Beispielen zu zeigen versucht, wie sich grofse 
Gebiete der sogenannten höheren Mathematik an einzelne Stellen der 
Elementarmathematik unmittelbar anschliefsen. Solcher Anschlüsse gibt 
es viele weitere und wir dürfen es uns nicht versagen, wenigstens einige noch 
in gedrängter Kürze zu erwähnen. Die einfachen Sätze über die Teilbar- 
keit der ganzen Zahlen, über Primzahlen führen zu einer grofsen Reihe 
von weiteren Fragen über ganze Zahlen, die in der Zahlentheori e ihre 
Beantwortung finden, oder noch einer Erledigung harren. Die periodischen 
Dezimalbrüche ordnen sich den geometrischen Reihen unter, und diese 
bieten den einfachsten Fall dar von Reihen, die sich unter gewissen Be- 
dingungen ins Unendliche fortsetzen lassen. So erhalten wir hier einen 
Ausblick in die wichtige Theorie der unendlichen Reihen, von denen 
eine gewisse Verallgemeinerung der geometrischen Reihe, die Potenzreihe, 
von besonderem Einflüsse auf die Funktionentheorie und auf die Zahlen- 
theorie geworden ist. In der Trigonometrie wird die Periodizität der 
Funktionen sin, cos, tan, cot bewiesen. Man kann nun überhaupt nach 
periodischen Funktionen fragen; gibt es noch mehr mit solcher oder anderer 
Periodizität, gibt es Funktionen mit mehr als einer Periode usw. 
Wenn in der Mathematik ein Lehrsatz aufgestellt wird, so mufs er 
bewiesen werden, d. h. es mufs gezeigt werden, dafs er auf Grund der 
vorher aufgestellten Definitionen und früher bewiesener, einfacher Lehr- 
sätze richtig ist. Bei solchem Verfahren geht man also rückwärts, und 
es ist klar, dafs man schliefslich auf gewisse einfachste Sätze, Grund- 
sätze oder Axiome, stöfst, die von vornherein als richtig und als ge- 
geben betrachtet werden müssen. Diese Grundlagen einer mathematischen 
Disziplin sind nun namentlich neuerdings ganz besonders untersucht worden 
und dabei hat sich z. B. für die Geometrie ergeben, dafs man neben dem 
von Euklid aufgestellten System von Axiomen noch auf mehrfache Weise 
andere vollständige und in sich widerspruchsfreie Systeme von Axiomen 
aufstellen kann, auf Grund deren der folgerichtige Aufbau von anderen 
Geometrien möglich ist. 
Betrachten wir nun, worauf die von allen Seiten zugestandene un- 
geheuere Bedeutung der Mathematik beruht. Zunächt wird man antworten 
müssen, dafs überall da, wo es sich um Messen und Zählen handelt, 
Gebiete der Mathematik berührt werden; aus solchen praktischen Bedürf- 
nissen heraus hat sich ja die Mathematik bei den Alten entwickelt. Ins- 
besondere sind zwei Wissenschaftsgebiete der Mathematik benachbart, 
die Physik und die Technik im weitesten Sinne; von diesen dreien ver- 
dankt jede den beiden anderen aufsei ordentlich viel. Schon in älteren 
Zeiten war es gelungen in einem Teile der Physik, in der Statik, Gesetze 
in mathematischer Form aufzustellen, also Gleichungen (oder wenigstens 
Proportionen) zu finden, die die Abhängigkeit veränderlicher Gröfsen unter- 
einander festlegen (z. B. Gleichgewichtsbedingungen, Archimedisches Prinzip). 
