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0. Chwolson, Ueber die Vertheilung der Wârme 
Betrachten wir nocli den ersten Differentialquotienten. Derselbe ist fur £ = 0 in (76, g) 
gegeben. Die kiitische Grosse, welclie bei r = R einen Sprung maclit, ist, wie man aus 
(7 6, i) sieht, die Sumrae 
(82, e) . 
cos a: — 
cos 3 x cos 5 x cos 7 x 
3 
X = 
2 B' 
4 
0 
K 
T 
0 < ® < 
< X < TT. 
Für t nicht gleicli Null wird dieselbe gleich 
(82, f). . . (/ cos x q jt cos 3 x -+■ -g- g 2a ‘ cos 5 x q iÿt cos 7 x -+- 
Die Reihe (82, e) ist für jedes r < R gleich auch wenn r selir nalie gleich R, x also 
nahe gleich ~ ist. In diesem Falle ist cos x eine sehr kleine Grosse und wenn die Summe 
(82, e) trotzdem gleich ist, so ist das so zu verstehen, dass die entferntcu Gliedcr eine 
sehr wichtige Bolle spielen. Sowie aber t von Null verschieden wird, verschwinden, wegen 
der cnorraen Convergenz der Reihe (82, f) gerade die entferntcu Gliedcr am ehesten und mit 
wachsendem t wird der Wcrth dieser Reihe durch eine immer kleinerc Zahl seiner ersten 
Glicder bestimmt. Hierin liegt der thatsachliche Ilintergrund des Facturas, dass der Cha- 
rakter des ersten Differentialquotienten einer wesentlichen Aenderung unterworfen wird, 
sobald t von Null verschieden wird. Der scharfe Bruch in der Curvc (bei r = R ), welclie 
durch die Reihe (82, a) bei t = 0 dargestellt wird, verschwindet also in der Tliat, sobald t 
von Null verschieden wird. Nelimen wir, zweitens 
/‘(r) = r, b R = 1 . 
Die Reihe bei t = 0 ist in (79, a) gegeben. Die allgeraeine, (81, a) entsprechende Lo- 
sung ist also 
(82, g) 
a (2 w+D'i sîn (2 
1 -.n 
(2B + 1) 2 
± V 0 (2»+l)*« 
r * TT 3 .- x i J- 
n = 0 
sm(2w-f-l)^ 
(2»+l)3 ' 
Bilden wir den zwciten Differentialquotienten der rechten Seite, so erhalten wir bei 
t= 0 ein Glied, welches die in (82, b) gegebenc Summe enthalt, s. (79, e), also unendlich 
wird, wahrend es bei t > 0 endlich bleibt. 
Dass für f (r) — 1 und f(r) = r das eben Gesagte auch bei beliebigem b R gilt, sieht 
man sofort aus der Gleichung (80, e). Das kiitische Glied ira Ausdruck des zweiten Diffe- 
rentialquotienten enthalt bei t = 0 und r — R die Summe 
