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x — ay = 0 | 
X 1)2 = -+- 1 j 
A. Markoff. 
x — ay = 0 | 
x — bz = — 1 j 
a; — ay = — lj æ — ay = -+- 1 j 
a ; — bs = 0 } a: — &£=-+-] J 
a : — ( 7 ?/ = -+- 1 1 
x — bz = O j 
(mod. 3). 
x — ay = — 1 \ 
X 1)3= — 1 j 
G) Six classes des nombres de la forme fractionnaire 
x y |At -+- z | /b 
3 ’ 
qni n’ont aucun facteur commun avec 3. 
Pour les dernières six classes les nombres entiers ordinaires x, y , s satisfont à l’un des 
systèmes des congruences suivantes 
x = ziz 
1 (mod. 3) 
x = ± 
(mod. 3) 
x == dr 
(mod. 3) J 
ay = x 
(mod. 9) 
■1 ay = 4x 
(mod. 9) 
, ay = Ix 
(mod. 9) 
1)3 = 4x 
(mod. 9) 
1)3 = X 
(mod. 9) 
1)3 = Ix 
(mod. 9) 
Nous avons ici trois groupes 3), 4) et 6) des nombres ? de la forme fractionnaire, par 
rapport aux quels il est facile de démontrer les propositions suivantes. 
Le produit d’un nombre du groupe 3) ou du groupe 4) par un nombre du même groupe 
ou par un nombre des groupes 5) et G) appartient aussi respectivement au groupe 3) ou 4) 
et par conséquent il a la forme fractionnaire. 
Le produit d’un nombre du groupe 3) par un nombre du groupe 4) appartient au 
groupe 1) ou 2). 
Le produit de deux nombres du groupe G) appartient au groupe 5). 
Le produit d’un nombre du groupe G) par un nombre du groupe 5) appartient au 
groupe 6). 
Soient en effet 
x \-*- y i fAt -+- f/-B -+- Vi y A *2 j/ 7 - 8 
= § et £2 — 3 — 
deux nombres du groupe 6) et 
% — x y j / A -t- 3 \/ B 
un nombre du groupe 5). 
Alors 
x x x 2 -y- ab — 
(x x — ay x ) (x 2 — ay 3 ) h- ay 1 (x 2 — 5ay 2 ~i-b3^ -+- ay 2 (x 1 — ôay^bZj) h- ‘J« 2 y x y 2 = O (mod. 9), 
