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A. Markoff. 
Conformément à cela on distribue tous les nombres idéaux en classes de telle manière 
que deux nombres idéaux appartiennent à une seule classe ou aux classes différentes suivant 
qu’ils sont équivalents ou non équivalents. 
Le nombre de ces classes, aux quelles on ajoute la seule classe des nombres % existants, 
est toujours fini. 
Soit en effet o un nombre idéal et N la norme de o. 
Désignons par g le nombre entier ordinaire défini par deux inégalités 
g 3 <N < (g -+- l) 3 
et considérons tous les nombres 
x -h y y a z y B, 
où x, y , z ont les valeurs 
0, 1, 2, . . . , g. 
Parmi ces nombres il en existe nécessairement deux 
r 
5 = s 
y' Va 
3 / — 
VB 
et 
Va s V b 
différents entre eux, qui sont congrus par rapport à to, car leur nombre {g -f- l) 3 est plus 
grand que la norme de io. 
La différence 
= x — x" —h (;/ — y) V A (z — z) V B 
sera un nombre divisible par o, en sorte que nous pouvons considérer cette différence comme 
le produit de « par un autre facteur w', dont la norme nous désignons par N'. 
Cela étant la norme g' — g" sera égale au produit N N' des normes de a> et de u' et plus 
petite que 
(f* (1 h- A h- H -h 3 db) 
car 
—g^x'—x"<g, — g<y—y"<g , —g<z'—z"<g. 
Par conséquent 
et 
NN' <g :i ( 1 -i- A Jj -+- 3 ab) <iV(l -+- A -i- B + Sab) 
N' <C 1 -+- A -+- B -+- 3 al. 
Nous voyons, que pour chaque nombre idéal « il existe un autre nombre idéal a tel, 
que le produit ou' se réduit au nombre £ existant et la norme de o' est plus petite que 
1 + A h- B ôüb. 
