Les intégrales de la forme 
a 
jouent un rôle considérable dans plusieurs théories importantes; c’est pourquoi il nous a 
paru désirable de faire une étude approfondie des formules qui peuvent servir à l’évaluation 
approchée de ces intégrales et de rechercher les limites les plus resserrées des erreurs que 
l’on commet en employant ces formules d’approximation. 
Nous supposons que les limites a et & de l’intégrale sont réelles et que la fonction F(x) 
reste aussi réelle et intégrable pendant que la variable x parcourt l’ensemble des valeurs 
réelles comprises dans l’intervalle de a jusqu’à b, que nous nommerons simplement l’inter- 
valle b — a. Quant au paramètre z il peut avoir ou une valeur réelle prise en dehors de 
l’intervalle b— a ou une valeur complexe quelconque. L’intégrale que nous considérons sera 
ainsi une fonction uniforme de z affectée d’une coupure menée le long d’un segment de l’axe 
réelle de a jusqu’à b. 
Nous supposons encore que toutes les intégrales de la forme 
h 
a 
dont on aura besoin pour les formules d’approximation soient finies et connues. 
Après avoir construit d’une manière fort simple la formule générale d’approximation 
avec l’expression exacte de l’erreur par une intégrale définie de la même forme que la 
proposée nous présentons quelques considérations aussi générales relatives à la détermi- 
nation des limites de l’erreur où nous mettons à profit une inégalité remarquable dont on 
doit la découverte à M. Tchebychef et dont l’usage en ce cas semble indiqué par la nature 
de la question. 
Mémoires do l'Acad. lmp. d. sc. VII Sério. 
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