Sue l’intégbale J F(x) 
§ 4. Revenant à la formule générale d’approximation posons pour abréger 
?» ?» ..•?*(») = 
en sorte qu’elle devienne 
rÙ ~b 
TPtfA ^ x ?i ( z ) , ^2 W , , (*) , t TT(r\ (T) (v\ ^ x 
i ' a; CPj (^) <P 2 («) <P m (*) ® m («) i ' ' g— x‘ 
®m( z ) ®m(«) 
"a "a 
Pour obtenir les limites de l’erreur il suffit de trouver les limites pour la valeur de 
l’intégrale ✓ 
r h 
m «>.(*) j*ï. 
A cet égard remarquons en premier lieu que lorsque le produit F(x) & m (x) ne change 
pas de signe dans l’intervalle b — a nous pourrions appliquer dans cette recherche les 
considérations exposées au § 3 et en déduire p. ex. pour z réel les limites suivantes pour la 
valeur de l’intégrale en question: 
yzr a F{x) Q m (x) dx et ^ F(x) <I> m {x) dx. 
a 
Mais à ces déterminations, qu’on peut appeler primitives, des limites de l’erreur nous 
allons adjoindre d’autres plus précises et non moins facilement calculables. A cet effet 
nous allons tirer parti de cette inégalité aussi simple qu’importante due à M. Tchebychef, 
à savoir 
f /» fi x ) /» dx. f f(x) dx > f f(x) f x {x) dx . f f (x) f 2 (x) dx, 
"a ^ a ^ a ^ a 
où la fonction f(x) ne devient négative dans l’intervalle b — «et les fonctions /»), f 2 (x) 
sont toutes deux croissantes dans le même intervalle. 
On démontre aisément cette inégalité en considérant la différence 
„b 
J. 
~b 
fi») /i(*) /» dx. f(x) dx 
fi x ) fi 
\ (x) dx . f 
J n 
f{x) f,(x) dx 
et remplaçant aux seconds facteurs des deux termes la variable x par une autre, y, ce que 
réduit la différence à la forme 
/ 
n. 
/» fiat) fii x ) \h ( x ) — fi iy)\ dx dy\ 
