8 
N. SONIN, 
en mettant dans cette expression la lettre x à la place de y et inversement et prenant la 
demisomme de la nouvelle expression et de l’ancienne on trouve pour la différence en 
question l’expression suivante par une intégrale double 
/» f{y) [/i (x) — f x («/)] [/" a (x) — f 2 {y ) J dx dy, 
dont tous les éléménts sont évidemment positifs. 
Cette manière de démontrer l’inégalité de M. Tchebychef est l’inverse de celle qu’a 
employée pour le même but M. Andréef dans les Communications de la Société 
mathématique de Kharkow pour 1882. 
§ 5. Soit s réel et supposons que le produit F(x ) ne change pas de signe 
dans l’intervalle b — a; admettons en outre que le polynôme y m (x) soit monotone dans le 
même intervalle; il suffit évidemment de se borner au cas où le produit F(x) (Z> m _ 1 ( x ) est 
positif et le polynôme <p m (x) croissant. En posant dans l’inégalité de M. Tchebychef 
f(x) = F(x) 0 m _ 1 (z), /; (x) = z _ x , f 2 (x) = <p m {x), 
on aura 
mais on a en vertu de la définition du polynôme ^ m (æ): 
F(x) (x) 
" a 
donc si l’on substitue cette valeur de l’intégrale 
,b 
a 
dans l’inégalité précédente elle devient 
