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(*b /-} rf% 
Sur l’intégrale | F(x) -— x . 
et fournit toujours une limite pour l’intégrale 
r b 
m <*>„(*> Si- 
-a 
Cette limite s’exprime, comme il est aisé de remarquer, par les polynômes f m (z), ^ m (^) 
et les seules intégrales 
r b 
F(x) 0 m _ l (x)dx et 
J a 
f 6 
F {a . 0 0 m (x) dx. 
Cette circonstance a de l’importance surtout lorsque la fonction F(x ) n’est pas donnée 
et que l’on sait seulement les valeurs de quelques intégrales de la forme 
r b 
F(x) x k dx, Je = 0,1,2,... 
en nombre restreint, ainsi que la propriété du produit F(x) <P m _, (a 1 ) de ne pas changer de 
signe dans l’intervalle b — a. 
En admettant toujours que le produit F(x) $ m _ x (x) ne devient négatif dans l’intervalle 
b — a, nous composons le polynôme 
¥»(*)= F(x)0 m (x) 
9m W - 9 m (*) 
Z — X 
dx , 
d’où l’on tire 
?«(*) f F ( x ) ®J X ) t -* x = +'»(*) [ F W 0 m~ i(*) ?«(*)* /-a 
•J n + n. 
L’intégrale au second membre est évidemment positif pour z > b, négatif pour z < a; 
on aura donc 
>«!»'„ W Pour z>b, 
P our *< a - 
§ 6. Supposons maintenant que le produit F(x) & m (x) reste positif dans l’intervalle 
6 — a et choisissons un polynôme croissant quelconque (a?). Posant dans l’inégalité de 
M. Tchebychef 
f 
?m(«) F (x) #«(*) 
dx 
z — X 
f(x) = F{x) 0 m (x), f l {x) = 
Mémoires de l’Acad. Imp. d. sc. YII Série. 
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S — X ’ 
/» = 
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