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N. SONIN, 
où le reste R m s’exprime selon Lagrange par la formule 
K = y" 
F(x) (x — cf 
dx 
[1 — (a — c)ï|] m ~*' 1 ’ 
y) ayant une valeur indéterminée comprise entre 0 et y. En revenant à la variable z et 
posant y] = où '( a une valeur intermédiaire entre z et -+- oo ou — oo, on obtient 
(g - c)«=S=i & c ) m F x. — c l’' 1 -' -1 
L ç-cj 
F(X)J^= 
2 — X Z — C (£ — C)~ 
fin — l 
(« — c) 1n 
et l’on voit que les limites de l’erreur s’obtiennent pour Ç = z e t Ç = =t oo et seront 
f <* “ c ) m 
n 
et Çm_ 
(z - c)*‘ 
La première de ces limites est plus difficile à calculer que ne l’est l’intégrale elle-même 
dont on cherche la représentation approximative et tout ce qu’on peut dire à l’égard de 
cette limite c’est que sa valeur est comprise entre 
Cm p*. fin 
(z — «)”>-*-> c (*r — b ) m -+- 1 » 
l’autre limite est en général moins avantageuse que l’une de celles que nous avons appelées 
primitives. La forme donnée par Lagrange au reste de la formule de Taylor se présente 
donc comme complètement inutile dans l’étude qui nous occupe. 
Mais dans un Mémoire spécial sur le reste de la formule de Taylor, imprimé 
en 1891 au JY? V des Annales de l’Université de Varsovie, nous avons proposé pour ce reste 
plusieurs formes nouvelles parmi lesquelles s’est montrée comme la plus avantageuse celle 
qui donne 
/%)=A0)-«-f(0) 
r ~ i (o) 
(m — 1)! 
no)£ : [> 
y 
i)/ m+, (ï i)+(»«+i)/™(i)). 
]. 
où l’on suppose que Y) (yj) -+- (m -+- ])/”"(y)) ne change pas de signe lorsque y) varie de 
zéro jusqu’à y. 
En faisant application de cette formule au cas que nous considérons, on trouve 
z — c (z — c) 2 
fin — 1 . Cm 
(z~c) m (*— c) m 
J>(.) <*-<■)-+■ 
JÎ^WC- ' ’l’iîF 
