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N. SONIN, 
et comme le produit 
(■X Y) j^^m-t-2 yrjn- J 
est toujours négatif, on conclut que les différences $(%) — gSÇQ et g— Ç ont les signes 
contraires, c’est-à-dire que $(() est une fonction décroissante de Ç. Sa valeur pour Ç = :Jroo 
est on aura donc 
pour 0 < a: % ± - 1 >$(?)> $(#), 
pour 0 > b: (fi{z) > $(?) > %**• 
'-'m 
Il est aisé de s’assurer que la limite de $(Ç) fournit pour la limite inférieure de 
la valeur absolue du reste la même valeur que celle que nous avons trouvée pour l’erreur 
au § 8 immédiatement après les limites primitives. Partant de là, remplaçant dans cette 
limite m par m — 1 et remarquant qu’on a 
r h 
F(x) (x 
cf 
dx 
~b 
(0 — c) 
F(x) (x — c)’ 
î — î dx 
Z — X 
— G 
nous pourrions retrouver l’autre limite de l’erreur déduite aussi au § 8. 
Nous pouvons conclure par cette analyse que la forme nouvelle du reste de la formule 
de Taylor que nous avons proposée fournit pour le développement de l’intégrale 
* a 
les mêmes limites du reste qu’on ne pourrait retrouver autrement qu’en s’attachant à la 
forme particulière de cette intégrale et faisant application de l’inégalité de M. Tchebychef. 
Cherchant à nous expliquer la raison de cette supériorité marquante de la forme 
nouvelle du reste sur les anciennes, celle de Lagrange, p. ex., nous croyons la trouver 
dans ce fait remarquable que tandis que la formule de Lagrange 
m = ao) h- f (o) x - . . . ■ h- r- 1 (o) -h r w Ç 
ne fournit la valeur exacte du reste que lorsque f(y) est un polynôme entier du degré non 
supérieur à m, la nouvelle formule 
f( ÿ ) = f(0)-t-A(o) 
r-(o>cL_ 
-P(0)£:[l— y 
P 
l (t)) 
1) f m + l (lj)-t-(«W-l )/"* (1J)_ 
