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Sur l’inïésraue 
î J b F(x) 
J a 
dx 
z — x' 
reproduit la valeur exacte du reste non seulement dans le même cas particulier mais encore 
dans un autre, à savoir celui où la fonction f(y) s’exprime par la série infinie et est égale à 
c étant une constante arbitraire. 
§ 10. Nous terminons cette étude de la formule d’approximation 
J ëi 
Q> j ^1 
Z — c (z — c ) 2 
— î 
(z — c) m 
_L_r' 
(z—c) m 
j n 
F(x) (x — c) n 
dx 
Z — X 
par la remarque suivante. L’erreur de cette formule peut être représentée par l’integrale 
d’où l’on voit que pour que cette erreur puisse tendre vers zéro lorsque m augmente indé- 
finiment il faut et il suffit que le module de reste moindre que un pour toutes les 
valeurs de x dans l’intervalle b — a. 
Si donc on décrit un cercle, ayant le point c pour centre et contenant dans son 
intérieur les points a et b, il faut que le point s se trouve en dehors de ce cercle. 
Posant c = le rayon de ce cercle sera ; lorsque b = <x> ou a — — oo le 
cercle n’existe pas. 
§11. Nous supposons maintenant que dans la formule générale d’approximation les 
polynômes <p, (x ), . . . cp m (æ) soient linéaires mais ne soient pas tous égaux entre eux et soit 
9 k (*) = « - <y, 
en ce cas les numérateurs seront de pures constantes qui dépendent toutefois 
de Cj, . . . c m _ l à l’exception du premier qui sera une constante absolue: 
-MO = f F{x) dx, <]> k (z) = 
*/ r. 
J 
F(x) (x — Cj) (x 
c 2 ). 
. (x — c A _,) dx. 
Nous allons choisir les constantes c v c 2 , . . . de manière à annuler successivement le 
plus grand nombre de termes de la formule d’approximation. 
Posant en premier lieu 
(#) = J* F(x) (x — Cj) dx = 0 
J a 
Mémoires de l'Acad. Imp. d. sc. VII Se'rie. 
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