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Sur l’intégrale F(x) — . 
J a *—• x 
Soit cpjC?) un polynôme du ri hne degré, ayant l’unité pour coefficient de z n , cp 3 (z) — un 
polynôme quelconque dont le degré ni ne surpasse pas n. Nous allons déterminer le poly- 
nôme cp t (^) de manière que ty 2 (z) s’annulle quel que soit le polynôme <p 3 (,s). Comme on a 
çb 
= m ?i («) y,(£ Ki? - (5i dx > 
* a 
il suffit de poser <p 3 {z) — z m pour voir que pour que i|< 2 (a) puisse s’annuler identiquement il 
est nécessaire que l’on ait 
f F(x) f x (x) dx — O, f F{x) cp, (æ) xdx = O,. . . f F(x) ^(æ) x m ~ l dx — 0; 
^ a 'a ^ a 
et inversement lorsque ces conditions sont remplies on aura ^ 3 (^) = 0, quel que soit le 
polymome du m ième degré cp 2 (z), de sorte que la formule d’approximation se réduit à un 
seul terme suivi de l’erreur, à savoir 
FM £ 
^i(g) 
9iW 
9iW 9 2 W 
/ 
* n 
F{x) 9l (x) <p a (x) 
dx 
z—x' 
Soit m = n. Les n équations de condition 
r h 
F(x ) cp^æ) x k dx = 0, Je = 0, 1, 2, . . . n — 1, 
^ a 
lorsqu’on y met à la place de (p 1 (x) le polynôme général du n ième degré à coefficients indé- 
terminés 
deviennent les équations linéaires par rapport à ces coefficients et en certains cas, et notam- 
ment en celui où F(x) ne devient négative dans l’intervalle b — a, comme nous le supposons 
désormais dans tout ce qui suit, elles déterminent complètement ces coefficients ou le poly- 
nôme Çj (x). 
Nous désignons par a n (x ) le polynôme ainsi déterminé, par û ;i (x) le polynôme corres- 
pondant 4»i ( x ), de sorte qu’on ait 
r h 
F(x) w n (æ) x k dx = 0 pour k = 0,1,2,.. 
^ a 
û „(*0 
r b 
F(x) “ w( - - dx 
^ a 
Mémoires de l'Acad. Imp. d. sc. VII Série. 
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