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N. SONIN, 
Il va sans dire, que si l’on connaissait l’expression asymptotique du polynôme <p (#) on 
aurait pu trouver directement les valeurs de z pour lesquelles 
lim J dx = 0. 
§ 17. La définition du polynôme a n (z) qui s’est présentée naturellement et qui consiste 
dans la propriété d’annuler les intégrales 
F(x) a n (x) x k dx, 
h = 0, 1, 2, ... n — 1, 
conduit, comme on sait, à l’équation linéaire aux différences finies du second ordre ou à la 
relation de récurrence qui lie entre eux trois polynômes consécutifs u (1 (z), « n _ 1 (z), a n _ 2 (z) 
et qui a la forme 
"«W = (* — Pu) «n-M - 
°ùp„, ne dépendent pas de e et q n _, > 0, lorsque F(x) > 0; cette relation suffit à 
elle seule pour déterminer complètement le polynôme a n (z) lorsqu’on a égard aux valeurs 
initiales 
«0 (*) = 1, »i(«) = e — iv 
On démontre aisément que le polynôme O (z) satisfait à la môme équation aux diffé- 
rences finies 
ü » = (*—P n ) °n- iW — «„_*(*) 
et a pour valeurs initiales 
û 0 W = 0, 0» = f F( 
J n 
'(x) dx. 
Partant de ces relations de récurrence on réduit la fraction 5?*^ e n fraction continue, 
, . “n M ’ 
a savoir 
Q n(«> _ gp 
“n W Z— Pi ~ 
s-Pf 
In — 2 
z—Pn - , 
la formule 
g» — t . 
z~Pn ’ 
/ 
^ n 
F{ x) — = lim 
W * — * “nW 
équivaudrait donc au développement de l’intégrale en fraction continue infinie. 
