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Sur l’intégrale J F(x) 
On tire encore des relations de récurrence l’égalité 
qui conduit à la formule 
Q n (*) i (s) _ loh - • flu-i 
“n(«l “n — 1(«) “»-i( 2 )"«( 2 ) 
OnW _ % . gpgi 
“n (*) <■><> (*) <*>i (*) “i {•) “2 (*) 
go?! • • • g» — I . 
“n — 1 (*) “ni*)’ 
on obtient de là à la limite le développement de l’intégrale en série infinie convergente. 
Enfin la relation de récurrence donne, comme on sait, 
J> n b 
F (x) a n (xf dx 
= 2i Î2- - • % 
J n 
F(x) dx\ 
donc l’erreur se représentera comme le produit de 
F (x) dx 
g t g 2 . . ■ q n I 
“n («)* ) 
par un facteur fini dont les limites se déterminent en suivant les indications du § 3. 
§ 18. Nous avons déjà remarqué que l’équation 
«nto = (* — PJ ®„- ,W — 2«-i U n — 2 (^) 
pourrait servir de définition au polynôme « n ($); ou doit donc admettre qu’elle serait capable 
de révéler toutes les propriétés de ce polynôme, si l’on savait s’y prendre. 
En admettant q n _ l > O on démontre aisément au moyen de cette équation le théorème 
important que toutes les racines du polynôme <z n (z) sont réelles et distinctes et que les racines 
du polynôme « fJ _ 1 (z) tombent dans les intervalles formés par deux racines voisines 
de o n (z). 
En elfet, en considérant le polynôme o a ( z ) défini par l’équation 
“2O) = (* — P2) "1 0 ) — 2 i ®oW 
* 
et remarquant que ce polynôme a la valeur infinie positive pour z — ±00 et qu’il est égal 
à — q x pour z =p x , qui annulle tq (z), on reconnait la vérité du théorème annoncé pour 
ce cas particulier. 
Si l’on suppose maintenant que l’on ait déjà démontré le théorème par rapport à deux 
polynômes consécutifs et o n _ 2 (0) et si l’on examine les signes des valeurs que 
prend le polynôme a n (z) défini par l’équation 
“«(*) = (* — Pr) — 2„_i “„-,(*)» 
