N. SONIN, 
30 
lorsque la variable, en décroissant de oo jusqu’à — oo, passe par les racines du polynôme 
( e )t on reconnaît que o n (z) éprouve n changements de signes et par conséquent possède 
n racines dont n — 2 tombent dans les intervalles formés par les racines voisines deu )( ,(^) 
et les deux autres se trouvent en dehors de ces intervalles, ce qui démontre le théorème. Nous 
avons déjà désigné les racines de «„(£) par x v x 2 ,. . . x n ; nous devons maintenant conclure 
que la plus petite racine x , est une fonction décroissante de n et la plus grande racine x n 
est une fonction croissante de n. 
Les polynômes «„_,(» et auront le signe positif pour z = x n et les signes 
contraires pour z — x y \ mais pour ces valeurs de z la relation de récurrence donne 
J (* - Pn ) “n-, (*) = 3„_, (*) ; 
donc 
X l < Pn < X n- 
Il résulte de là: 1° que la limite de p n pour n = oo sera nécessairement finie lorsqu’on 
sait d’avance que toutes les racines des polynômes «„(£) sont comprises dans l’intervalle 
fini b — a; 2° que lim x n — oo si lim p n — oo, et lim x 1 = — oo, lorsque lim p n = — oo. 
Portant dans la relation de récurrence les expressions 
P.* 
on trouve 
d’où 
P n = P n-l -+• 
P n =Pi -'-Pz • -~*-P n 
et comme P n représente la somme des racines de « n (z) on aura 
x i æ 2 ■+■ • • ■ x „ = Pi -+- P 2 -+- ■ ■ • -+- P n - 
Soit z réel et plus grand que lim x n ou moindre que lim x v Posant 
A — M n( g ) \ _ gn-i 
« (*— J3„)w n _ 1 («)’ «-1 (s~Pn) {z-Pn-i)’ 
la relation de récurrence devient 
d’où l’on tire en changeant n enw+1 
A = — - n . 
n l-A nH _r 
