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N. SONIN, 
On voit par cette égalité que X< |, ce qui peut servir à la détermination des limites 
a et b de la variable z. 
La détermination de valeur asymptotique d’une fonction définie par une équation 
linéaire aux différences finies a été l’objet des recherches de M. Poincaré *) qui, en se 
bornant au cas où les coefficients de l’équation sont des polynômes entiers du même 
degré, — ce qui correspond pour notre relation de récurrence à la supposition que la limite 
de p n soit finie et différente de zéro, — a fait voir que l’équation dont il s’agit ne peut fournir 
que la limite de — ou de A, . 
Nous terminons cette digression sur la relation de récurrence en déduisant encore une 
inégalité qui doit être satifaite pour des valeurs z sortant de l’intervalle b — a. On peut 
écrire en vertu de cette relation 
(z— P n f (zf = [«„(*) -H « n _ 2 (~*)| 2 > 4 *»„(*) « n _», 
d’où l’on trouve 
A n-, > 4X„_ l A n . 
On voit par là que pour que la limite de A n puisse être déterminée et différente de 
zéro il faut que la limite de X n ne surpasse pas 
Posant dans cette inégalité n — 2, 3,. . . et faisant le produit des résultats on obtient 
1 > 4— X, X,. . ,X„_, A., 
et comme A n > X n on trouve de là a fortiori 
1 > 4"-‘ X, V . ,x„_ l V 
§ 19. Revenons à la formule du § 15 
= ÿfji) <p l {g) <f 2 ( g ) f F ( X ) ?! (*) Ta ( æ ) 
J a J a 
où le polynôme du n ième dégre <pj (x) satisfait aux conditions 
( b 
F(x) <p! (a) x k dx = O, h — O, 1,. . .m — 1. 
*) Sur les équations linéaires aux différentielles 
ordinaires et aux différences finies. Par M. H. Poincaré. 
American Journal of Mathematics, 1885, vol. VII, p. 
203 — 258. 
