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Sur l’intégrale 
Pour terminer ces recherches nous allons appliquer les résultats généraux à quelques 
formes particulières de la fonction F(x). 
§ 20. Soit F{x) = (x — aÿ (b — xf, où X > — 1 , p. > — 1 . 
Posant dans la formule du § 8 c = a, on aura 
-b 
G k = 
(x — a) 
\-i-k 
( b — xf dx — 
r (x-4-fc-t-u r (n-i-i) ^ -t-i . 
r (x-f-fji-f-2) 
r (X ((x— ■ — i) 
o b — «r*- 1 * 
af (b 
xf 
dx 
Z — X 
b — a _ X-t-1 
!b-a\ 
2 (X-t-1) (X-t-2). . .(X-t-m — 1) 
z — a 1 X-t-jx-t-2 ' 
[z — a) 
' ’ (X -+-fjL -«-2) (X-t-fJ.-t-3) . . .(X-t-fi-t-m) 
\z — a] 
R 
mi 
(X-»-l) (X-»-2). . .(Xh-»<) 
b — a 
(X-«-(i-i-2) (X-t [Ju-t-U) . . .(X-i-(jn-»i-i-l) 
\-t-m 
(6 - a) 
(£ï)“< 
R. 
(X-t-l) (X-t- 2). . .(X-t-m) 
b — a (b- a \ m p 
-b \*-a) - > 
z < a, R 
(X-t-[x-t-2)(X-t-|x-r-8). . .(X-t-n,-t-mH-l) z 
(X— i — 1 ) (X-h 2) . . . (X-t-»i) 
b — a 
m (/.-t-,u-t-2) (X-t-fi-t-3). . .(X-f-(J.-t-m+l) 
X-t-Wt-t-6 
X-t-|J.-t-wi-t-l-t-Ô 
(b — a) 
Lorsqu’on a construit une formule d’approximation il n’est nullement nécessaire, pour 
construire les autres, de se reporter toujours aux formules générales, ces dernières étant 
principalement destinées à constater la possibilité de certaines représentations approxima- 
tives; il est souvent plus commode de déterminer les constantes et les coefficients de ces 
nouvelles formules en les réduisant à la même forme qu’a la formule supposée connue. 
Ainsi en posant 
r (X-*-(jL-f— 2 ) 
r (a—*— î ) r ((J.-# — i ) 
(b- a) 
x 
(x— a)* ( b—xf 
dx 
z—c, (Z-C ,) 2 (Z—C 3 ) (z-c ,) 2 (z-c 3 ) 2 (z-c b ) 
et développant le second membre suivant les puissances descendantes de z — a, on trouve 
successivement en égalant les coefficients de ce développement à ceux que l’on a trouvés 
auparavant : 
A, = b — a, 
(X-»-l) 6 -+- (ix ■+■ 1) a 
C l X-*-(a-»-2 » 
a (X-*- t) (l*-** t) (b ffl \3 
s (X -+- n 2)* (X •+- (J.-+-3) ' ' ’ 
[(X-*-l)*-»-(X->-3) (M.h- 1)] b->-[(|X-*-l) 2 -»-(t^-»-3) (X-t-1)] a . 
(X-t-ft-t-4) 
5 * 
