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N. SoNlN, 
Toutes les constantes c lf c 2 , c 3 ,. . . deviennent égales à lorsque p. = X. Cette 
circonstance arrive toujours pour la formule générale du § 1 2 lorsque la fonction F(x) est 
paire par rapport a, x — - ~ • 
Passant à l’étude de la fraction continue qui sert à représenter l’intégrale 
(x — af ( b — xf 
dx 
nous remarquons qu’on a, comme on sait *), 
L’expression 
b H-q ^ fc 2 — X 2 ) (6 — a) 
Pn 2 2 (2 n -+- X -+- p.) (2 n — i- X — fx — 2) » 
n (n + À) (n -+- |x) (n X -+• (x) (6 — o) 2 
(2» H- X -h (x 1) (2n h- X (x) 2 (2 » -h X [x — 1) ' 
X 
n 
9n 
(*— î>n' 
a pour limite lorsque n augmente indéfiniment 
1 / b — a 
16 [ b-»-q 
V T~ 
et comme cette limite, eu supposant z réel ne peut surpasser on trouve de là 
(z — a) (z — b) > 0, 
ce qui détermine les limites de l’intégrale lorsqu’on prend pour point de départ la fraction 
continue. 
Cette fraction continue n’est qu’un cas particulier de celle qui représente, selon Gauss, 
le rapport de deux séries hypergéométriques. Sa convergence dans le cas général a été 
étudiée pour la première fois par B. Riemann en 1863 dans une Note, en langue italienne, 
restée inachevée et publiée après sa mort par M. H. Schwarz dans ses Oeuvres complètes, 
1876. M. Thomé a traité la même question en 1867 dans le t. 67 du Journal für Mathe- 
raatik. Ces recherches ont cela de commun qu’elles sont fondées, l’une et l’autre, sur la 
détermination de l’expression asymptotique pour la série hypergéométrique 
F (a -t- n, p + », y h- 2 n, x), 
*) Voir p. ex. notre Mémoire «Sur l’évaluation 
approchée des intégrales définies etc.» dans les 
Annales de l’Université de Varsovie pour 1887, 
JVï As 1, 2, 3. 
