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Sur l’intégrale 
dx 
z—x' 
où n est un nombre entier très-grand; mais tandis que Riemann emploie pour ce but 
l’expression de la série hypergéométrique par l’intégrale définie dont il trouve la valeur 
asymptotique par la méthode de Laplace, M. Thomé prend pour point de départ l’équation 
différentielle de la même série. 
En employant la nouvelle forme de l’erreur 
qui se réduit au produit de 
1 
F{x) a n (xf dx 
dx 
Z — X * 
gl gz--gn 
“ n (*) 2 
par un facteur fini indéterminé, nous aurons besoin de l’expression asymptotique pour o n (#). 
Ce polynôme satisfait à l’équation différentielle du second ordre 
(*— «) (*— b ) -+- [(Xn-1) (^— 6)-+-(p.-+-l) (z— a)] n(n-HX-i-fn-l) o n («)=(). 
En désignant par | la limite de - Mfl ^ pour n — oo on trouve au moyen de la relation 
“n — 1 
de récurrence 
d’où 
b -t- a e /b — a \ 2 «. — i 
> = - + ï + (-|i • 
Le polynôme o n (s) devient ainsi fonction de £ et si l’on pose ç = ~r~ T i> 
».(') = C-7-T r " u - ( " 1 ’ 
Î7 n (tj) sera un polynôme en 7) du degré 2m, ayant la forme 1 -+- A 1 r\ -+- . . . -t- A 2n ï) 2 '* ; 
l’équation différentielle, à laquelle satisfait u n (z), devient après les substitutions: 
(y]“ 1) 7) dT) ” [2 n (ïj- 1) — (X-t-p.H-2) Tq' -»- 2 (X — p.) 7) X p.] 
— n [2 (X-*- p.H- 1) i]-f- p.— Xj U n (i\) = 0. 
D’après une théorie connue cette équation possède une solution développable suivant les 
puissances ascendantes de t] dans le cercle de rayon un: c’est précisément le polynôme U n (y\). 
Divisant l’équation par n et posant «=oo on obtient pour lim U n (t\)= U(t\) l’équation 
[2 (X -+- p. -+- 1) T) -+- fi — Xj U{ti) = 0 
