Sur l’intégrale 
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et remplaçant z par x 
(x— a) (x—b) — ^ x) — [(P-— 1 ) {x— a) -h(X— 1 ) (x— 6)] — ( n 1 ) ( n -+- X -+- p.) P n {x) = 0 . 
dx 
En multipliant cette équation par et l’intégrant de a jusqu’à b, on trouve, 
faisant l’intégration par parties: 
r b 
(*-«) i*~b) 2 J —'[(!*— 1 ) (*-aMX- 1 ) (*-&)] 
= (b — a) PAW + M, 
' ’ L z—a z—b J’ 
P n (æ) dæ 
£ — x 
d’où, posant 
dx 
et admettant X>0, p.>0, on conclut que Q n (z) représente une solution particulière de l’équation 
à laquelle satisfait P n (z). Donc l’équation pour «„(£) possède une deuxième solution parti- 
culière 
(z — a)~ x (b — z)-* (x — a) K ( b — xf «»„(*) 
^ a 
qui se réduit à la forme 
i, ~°c , ( »r rl ‘ f » - •* (» - # sw 
J n 
en vertu de la propriété du polynôme « n (æ) d’annuler l’intégrale 
,6 
(x — a) x (b — xf" a n (x) — ^ dx. 
J. 
Pour X = 0, p. = 0, b = — a = l on trouve p. ex. l’expression suivante de la fonction 
sphérique de seconde espèce, qui s’obtient de celle de F. Neumann, à savoir 
Q n (*) — 2 P n (z) J P > 
dx 
(xf . 
n ' ’ z — X 
§ 21. Soit maintenant a = 0, b = oo, F(x) = e x x x X > 0. 
La formule du § 8 donne pour c = 0 
r c 
-x „X-i _Ax_ _rg) + T(x+ 1 ) 
r — 1) 1 
■ — x X-+-m — i dx 
