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Geh. Hofrat Prof. Dr. Ph. Weinmeister spricht über die Ableitung 
der Formel für den Mantel des schief abgeschnittenen Um- 
drehungskegels. 
Projiziert man die in der Grundfläche des Kegels entstehende Schnittellipse mit den 
Achsen 2 a und 2 b auf eine durch die Spitze 0 gehende Ebene, die zur Achse des Um- 
drehungskegels senkrecht steht, so entsteht in dieser eine Ellipse mit den Achsen 2 a' 
und 2 fr, deren Fläche sich darstellen läfst als Projektion des Kegelmantels M in ihre 
Ebene, also ist 
... tc a' b , sin a 
(1) M =— — - — tz ab 
sin 
sin 4> ’ 
wenn 2 der Öffnungswinkel des Umdrehungskegels und a der Winkel ist, den die Um- 
drehungsachse mit der Grundfläche bildet. Derjenige Achsenschnitt 0 AB des Kegels, 
welcher senkrecht zur Grundfläche steht, ist ein Dreieck, dessen eine Seite AB — 2a 
ist, während die beiden anderen Seiten mit Z t und Z ? , d. i. die längste und die kürzeste 
Mantellinie des Kegels, bezeichnet werden sollen. Die Seite 2 a dieses Dreiecks zerfällt 
durch die Kegelachse 0 0' in die beiden Abschnitte A 0' = i x und 0' B = i 2 . Da aber 
sm a 
so hat man 
Weil ferner 
ist, so wird 
( 2 ) 
sin 4 » 
li = b = l/W- 2 und a = 
V Mo 2 
Vl-Vü-Vg-V!; 
M=tz 
2 
b. 
Denkt man sich nun, um b auszudrücken, in den Kegel eine Kugel eingeschrieben, 
so wird diese die Grundfläche in einem Brennpunkte F der Ellipse berühren. Der 
Achsenscbnitt des Kegels schneidet die Kugel in dem dem Dreieck 0 AB eingeschrie- 
benen Kreise, der insbesondere AB in F berührt. Nun ist einerseits, weil ^ der halbe 
Winkel des Dreiecks 0 AB in 0 ist, nach einer bekannten Formel der Trigonometrie 
sin 4» 
-V^ 
BF 
U ’ 
andererseits, weil F Brennpunkt der Ellipse mit den Halbachsen a, b ist, 
AF FB = & 2 , 
mithin 
V'. 
(3) b = \/ i, i 2 sin 4* 
Also wird 
(4) 
Setzt man im speziellen Falle = 
und 
l sin 4» = r, 
so ergibt sich die bekannte Formel für den Mantel des geraden Kreiskegels 
(5) M= iz Ir. 
Der Vortragende bemerkt zum Schlüsse, dafs aus Gleichung (4) die Formel für die 
Oberfläche des Hufes hergeleitet werden kann. 
Zweite Sitzung am 15. April 1909. Vorsitzender: Prof. Dr. A. Witting. 
— Anwesend 16 Mitglieder und Gäste. 
Prof. Dr. F. Müller nimmt das Wort zur Gedächtnisrede an 
Hermann Grafsmann. (Vergl. Abhandlung IV.) 
