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Bauamtmann Dr. A. Schreiber spricht über Bedingungsgleichungen 
für Rückwärtsschnitte. 
Gegeben sind 4 Punkte A 1} A 2 , A Sl A 4 . Den Strahlen von einem beliebigen 
Punkte C nach jenen 4 Punkten mögen in bezug auf irgend ein Koordinatensystem die 
Richtungswinkel a M , a 0 2 , u 03 , a 04 zukommen; die Längen der 4 Strahlen seien nacheinander 
durch r lt r 2 , r 3 , r 4 ausgedrückt. Von den 6 Winkeln zwischen den 4 Strahlen reichen 
zwei aus, um die Lage von G gegen A t , A 2} A s , A 4 vollständig zu bestimmen. Demnach 
bestehen 4 Bedingungsgleichungen, von denen 8 Winkelbedingungen sind, die man leicht 
anschreiben kann. Es ist z. B. 
^34 = ^4-21*3, 
wo 5t 34 den Winkel zwischen den Strahlen CA S und GA 4 bedeutet usw. Die letzte 
Bedingungsgleichung ist eine Seitenbedingung, mit deren Aufstellung sich bereits 
C. F. Gauss beschäftigt hat. Die Gleichung findet sich ohne Ableitung in seinem Nach- 
lasse. (Gesammelte Werke, Bd. VIII, S. 319.) 
Der Vortragende zeigt, wie man solche Bedingungsgleichungen in eleganter Weise 
auf vektoranalytischem Wege herleiten kann, und führt zu diesem Zwecke zunächst eine 
Vektorgleichung vor, die sich auf das Pothenotsche (Snelliussche) Problem in seiner 
einfachsten Form bezieht. Werden hier die Winkel auf C zwischen CA 1 und GA 2 , 
zwischen CA 2 und Ci 3 , zwischen C A s und G A t nacheinander mit 9t 3 , 5R, be- 
zeichnet, so kann man fragen, wie verschiebt sich der Punkt C, wenn sich diese Winkel 
um differentiale Gröfsen ändern, wobei selbstverständlich 
dU||H-^ 2 + d3l 8 = 0 
sein mufs. Ist dQ der differentiale Vektor der Punktverschiebung in (7, so gilt, wie 
der Vortragende zeigt, die Gleichung 
( 1 ) 
— - — = + + — '<* si 8 . 
^2^*3 ^ 7*1 11 T t) Z T 3 
Darin sind 9^, 9£ 2 , 91 3 Einheitsvektoren, deren Richtung dieselbe ist, wie die der 
Strahlen CA 4 , GA 2 , CA S , und X ist zur Abkürzung gesetzt für 
X = r t sin 5R -f- r 2 sin 2l 2 -j- r 3 sin $ 3 . 
Die Gleichung (1) wird illusorisch, wenn X = 0 ist. In diesem Falle liegen aber 
C, A v A 2 , A b auf einem Kreise. 
Wenn nun 4 Strahlen vorliegen, so kann man sich eine beliebige Verschiebung des 
Punktes G vorstellen und die Gleichung viermal ansetzen, weil man unter den 4 Strahlen 
viermal eine Auswahl zu je dreien treffen kann. Man erhält also mit leicht verständ- 
lichen Bezeichungen 
r 2 r 3 r 4 ^ 
«-««) 
7 1 
n r A 
~zr d («04 — «03) "i" ~zf d («o 
*2 1 3 
+ ~ d («0 
• «04) J r'^ d Ks — «02) 
« 01 ) + “ d (u 03 — a 01 ) 
^‘124 j O % 
m. 
— \ r~zr d 3 — ~rr d («04 — «02) + ~^r d («01 — «04) + 
X 9? 
d S = d ( a o 3 — «02) 4- ~^r d («01 — «03) + — ^(a 0 
r, r 9 r. 
% 
To 
4“ ~ d ( «02 «Ol) 
• a 01 ). 
1 '2 # 3 '1 ' 2 
Addiert man die 4 Gleichungen, nachdem man vorher die erste und dritte mit — 1 
multipliziert hat, so kommt die gesuchte Bedingungsgleichung in der Form 
(2) v 4 X 2 3 4 "j - t 2 X 4 3 4 ^3 2 4 ^*4 X j 2 3 — 0- 
Dabei ist z. B., wie oben 
X 234 = ^2 sin («04 — « 03 ) + h sm (a 02 — a o4 ) + r 4 sin (a 03 — aj. 
Zum Zwecke der Ausgleichung von Rückwärtsschnitten mit überschüssigen ge- 
messenen Richtungen oder Winkeln braucht man aber eine Bedingungsgleichung, welche 
die Differentiale der Richtungswinkel oder der Winkel zwischen den Strahlen CA U GA 2 
usw. enthält. 
Durch eine anderweite Zusammenfassung der obigen 4 Gleichungen gelangt man 
nun zu der Gleichung 
