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In seiner Abhandlung ..Über die Fläche vom kleinsten Inhalt bei gegebener Be- 
grenzung“ hat Riemann die Aufgabe behandelt, ein Minimalflächenstück analytisch zu 
bestimmen, dessen Begrenzung aus drei einander kreuzenden geraden Linien besteht, 
und stellt für den Fall, dafs die Geraden den Koordinatenaxen parallel laufen, die fertigen 
Ausdrücke für die rechtwinkligen Koordinaten eines Punktes der Fläche auf. 
Der Vortragende teilt mit, dafs er für den erwähnten speziellen Fall die Aufgabe 
mit einfachen Hilfsmitteln gelöst hat, und dafs er die verschiedenartigen Gestalten, welche 
die durch die Formeln dargestellten Minimalflächenstücke dadurch annehmen können, 
dafs sowohl die Abstände zwischen den begrenzenden Geraden als auch die Vorzeichen 
dieser Abstände variiert werden, einem genauen Studium unterworfen hat, und zeigt durch 
eine gröfsere Anzahl von Modellen, welcher Reichtum von Gestalten hierbei auftritt. 
Zu einer vollständigen Übersicht aller in Betracht zu ziehenden Fälle gelangt Vor- 
tragender durch die Bemerkuug, dafs die Ausdrücke für die kürzesten Abstände A, B 
und G zwischen den begrenzenden Geraden in die Form eines Produktes von zwei Faktoren 
ersten Grades dreier von einander unabhängiger Parameter j?, q , r gesetzt werden können. 
A = k [4 p 2 — (p -|- q + r) 2 ] = tc (ßp + q + r) (p — q — r), 
oder A = A 2 . A 1 und analog damit 
B = B 2 . B t , C = C 2 . C x . 
Betrachtet man also die Parameter als die homogenen Koordinaten eines Punktes in 
einer Ebene (p, g, r), so wird durch die sechs Geraden A x = 0, A 2 = 0 usw. die ganze 
Ebene derart in 16 Gebiete eingeteilt, dafs innerhalb jedes einzelnen derselben die Vor- 
zeichen der Abstände bei festgestellter Verknüpfung der Enden der drei begrenzenden 
Geraden durch die ins Unendliche verlaufenden Sektoren des Flächenstückes sich nicht 
ändern, während beim Überschreiten einer Trennungslinie zweier benachbarter Gebiete 
einer der Abstände sein Vorzeichen wechselt. 
Für jedes einzelne dieser Gebiete, sowie für die Trennungslinien und die Eckpunkte 
derselben wird die Gestalt der entsprechenden Flächen durch Modelle zur Anschauung 
gebracht. 
Wird einer der Abstände dadurch gleich Null, dafs der Punkt (p, q , r) sich einer 
der Geraden A x , B x oder C x nähert, so nähert sich der betreffende, sich ins Unendliche 
erstreckende Sektor einem ebenen Flächenstücke von der Gestalt der Fläche einer Viertel- 
ebene, welches sich schliefslich von dem Minimalflächenstücke trennt, während dagegen 
eine Annäherung des Punktes (p, q , r) an eine der Geraden A 2 , B 2 oder C 2 damit gleich- 
bedeutend ist, dafs das Minimalflächenstück sich selbst zu durchschneiden anfängt. Be- 
trachtet man z. B. das Gebiet in Form eines Fünfeckes, welches von Strecken der Geraden 
C x A x B 2 A 2 B x begrenzt wird, so entsprechen den drei Ecken B x A 2 , B t A 2 und B 2 A x 
drei verschiedene Minimalflächenstücke mit derselben Begrenzung, gebildet von drei 
Geraden, von welchen zwei von der dritten geschnitten werden. Durch dieselbe Be- 
grenzung geht noch ein viertes Minimalflächenstück, die gewöhnliche Schraubenfläche 
und aufserdem eine Minimalfläche, welche eine sogenannte Doppelfläche ist. Von sämt- 
lichen fünf Flächenstücken werden Modelle vorgezeigt. 
Der Vortragende geht hiernach über zur Beantwortung der Frage, ob unter Bei- 
behaltung der Verknüpfung der ins Unendliche reichenden Enden der begrenzenden 
Geraden ein Minimalflächenstück eindeutig bestimmt ist, wenn die Verhältnisse der Ab- 
stände A: B : C=a:b : c gegeben sind. 
Da die Ausdrücke für die Abstände Funktionen zweiten Grades der Parameter 
jo, q , r sind, so bezeichnet A : B — a:b die Gleichung eines durch die vier Schnittpunkte 
der Geraden A x , A 2 , B x , B 2 gehenden Kegelschnittes, welcher, wenn die Abstände 
A und B dasselbe Vorzeichen haben, eine Hyperbel, im entgegengesetzten Falle eine 
Ellipse ist. Eine analoge Bedeutung haben die Gleichungen B : G=b : c und A : G = a : c. 
Die drei Kegelschnitte haben vier Schnittpunkte mit einander gemein. Die Beantwortung 
der aufgestellten Frage ist somit zurückgeführt auf die Entscheidung, ob ein oder 
mehrere dieser Schnittpunkte in dasselbe Gebiet, oder auch in verschiedene Gebiete mit 
derselben Zeichenkombination der Abstände fallen können. Es zeigt sich nun, dafs nur 
für die Zeichenkombination ( ) das Minimalflächenstück durch die Abstände ein- 
deutig bestimmt ist, während für die übrigen Zeichenkombinationen einem gegebenen 
Wertverhältnisse der Abstände ein, zwei oder drei verschiedene Minimalflächenstücke ent- 
sprechen können. Von solchen von einander verschiedenen Flächen, die durch dieselbe 
Begrenzung hindurchgehen können, werden Modelle vorgelegt. 
Auf den betrachteten Minimalflächenstücken kann im Innern ein singulärer Punkt 
von der Beschaffenheit, dafs durch denselben drei Asymptotenlinien hindurchgehen, auf- 
treten; oier auch hat die Fläche zwei entweder auf derselben oder auf zwei verschiedenen 
der begrenzenden Geraden gelegene sogenannte Rückkehrpunkte der Normale. Die 
